Умовна гомоскедастичність проти гетерокедастичності

З економетрики , Фуміо Хаяші (гл. 1):

Беззастережна гомоскедастичність:

Другий момент термінів помилки E (εᵢ²) є постійним у всіх спостереженнях
Функціональна форма E (εᵢ² | xi) є постійною в спостереженнях

Умовна гомоскедастичність:

Знімається обмеження, що другий момент термінів помилки E (εᵢ²) є постійним у всіх спостереженнях
- Таким чином, умовний другий момент E (εᵢ² | xi) може відрізнятися в різних спостереженнях через можливу залежність від xᵢ.

Отже, моє запитання:

Чим умовна гомоскедастичність відрізняється від гетероскедастичності?

Я розумію, що існує гетероскедастичність, коли другий момент відрізняється від спостережень (xᵢ).

— Алек
джерело

Можливо, це допоможе: www2.econ.iastate.edu/classes/econ674/falk/…

— whuber

У лекції є невелика проблема, яка говорить про те, що "Отже, умовна гомоскедастичність передбачає безумовну гомоскедастичність" всупереч книзі "Економетрика". Вони ніби обумовлюють різні речі.

— Генрі

@ Генрі З цього питання важко сказати, які визначення є точними, а які - ні, деякі з них не мають сенсу виходити з контексту підручника. Деякі роз’яснення будуть вітатися.

— whuber

Почну з цитування від Хаяші, щоб допомогти іншим, хто хотів би прокоментувати. Я намагався зберегти форматування та початкові числа рівнянь.

Почніть цитату з сторінки Хаяші, сторінка 126, розділ 2.6:

Умовна проти безумовної гомоскедастичності

Припущення про умовну гомоскедастичності:

\begin{aligned} (2.6.1) & E (ϵ_{i}^{2} | x_{i}) = σ^{2} > 0. \end{aligned}

$\begin{align*} \tag{2.6.1} E(\epsilon_i^2|\mathbf{x}_i)=\sigma^2>0. \end{align*}$

E (ϵ_{i}^{2})

$E(\epsilon_i^2)$

σ^{2}

$\sigma^2$

Кінцева цитата.

\begin{aligned} (1.1.12) & E (ϵ_{i}^{2} | X) = σ^{2} > 0 (i = 1, 2, \dots, n) \\ (1.1.17) & E (ϵ_{i}^{2} | x_{i}) = σ^{2} > 0 (i = 1, 2, . \dots, n) . \end{aligned}

$\begin{align*} \tag{1.1.12} E(\epsilon_i^2|\mathbf{X})=\sigma^2>0 \quad (i=1,2,\ldots,n) \\\ \tag{1.1.17} E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)=\sigma^2>0 \quad (i=1,2,.\ldots,n). \end{align*}$

$(\epsilon_i,\mathbf x_i)$ $i$ $E(\epsilon_i^2)$ $i$ $E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)$ $i$ $i$ $E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)$ $i$ $\mathbf x_i$

[Більше жодних цитат від Хаяші, лише моє розуміння після цього моменту.]

$E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)=\sigma^2$ $E(\epsilon_i^2)=E[E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)]=E[\sigma^2]=\sigma^2$

$\mathbf x_i$ $\epsilon_i$ $\sigma^2$ $E(\epsilon_i^2)=\sigma^2$ $E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)\ne\sigma^2$ ; Приклади 2.6 (стор. 127) ілюструють це. Це також, можливо, відповідає на питання про перекриття між гомо- та гетерокедастичністю: він дає приклад, коли існує безумовна гомоскедастичність, а також умовна гетерокедастичність.

Це заплутані поняття, особливо без великого досвіду із умовними очікуваннями / розподілами, але, сподіваємось, це додає певної ясності (та вихідного матеріалу для будь-яких майбутніх дискусій).

— Девід М Каплан
джерело

Це може допомогти узагальнити ці приклади тут, щоб більш повно прояснити відмінність цих заплутаних понять.

— gung - Відновіть Моніку