Очікувана кількість співвідношення народжуваності дівчаток та хлопчиків

Я натрапив на тест на придатність до співбесіди для критичного мислення. Це щось подібне:

У Зорянській Республіці є дуже дивні звичаї. Пари бажають мати дітей-жінок, оскільки тільки жінки можуть успадкувати багатство сім'ї, тому якщо вони мають дитину-чоловіка, вони продовжують мати більше дітей, поки не матимуть дівчинку. Якщо у них є дівчина, вони перестають мати дітей. Яке співвідношення дівчаток до хлопців у Zorgana?

Я не згоден з типовою відповіддю, яку дав автор запитання, яка становить приблизно 1: 1. Виправданням є те, що будь-яке народження завжди матиме 50% шансів бути чоловіком чи жінкою.

Чи можете ви переконати мене у більш енергійній математичній відповіді якщо - кількість дівчаток, а B - кількість хлопців у країні?$\text{E}[G]:\text{E}[B]$$G$

Почніть з дітей

повторити крок

{

У кожної пари, яка ще має дітей, є дитина. Половина пар мають чоловіків, а половина - жінок.

Ті пари, у яких є жінки, перестають мати дітей

}

На кожному кроці ви отримуєте парну кількість чоловіків і жінок, а кількість пар, які мають дітей, зменшується вдвічі (тобто ті, що мали жінок, не матимуть дітей на наступному кроці)

Таким чином, у будь-який момент ви маєте рівну кількість чоловіків і жінок, і кількість кроків, які мають дітей, зменшується вдвічі. Оскільки більше пар створюється однакова ситуація повторюється, а всі інші рівні, популяція буде містити однакову кількість чоловіків і жінок

Нехай - кількість хлопців у сім'ї. Як тільки у них є дівчина, вони зупиняються, так$X$

$$\begin{array}{| l |l | } \hline X=0 & \text{if the first child was a girl}\\ X=1 & \text{if the first child was a boy and the second was a girl}\\ X=2 & \text{if the first two children were boys and the third was a girl}\\ \text{and so on}\ldots &\\ \hline \end{array}$$

Якщо - ймовірність того, що дитина є хлопчиком, і якщо статі незалежні між дітьми, то ймовірність того, що сім'я закінчить мати хлопчиків, є тобто ймовірність мати хлопців і потім мати дівчинку. Очікуване число хлопчиків є Зауваживши, що отримаємо k P ( X = k ) = p k ⋅ ( 1 - p ) , k E X = ∞ ∑ k = 0 k p k ⋅ ( 1 - p ) = ∞ ∑ k = 0 k p k - ∞ ∑ k = 0 k p k + 1 . ∞ ∑ k $p$$k$

$$\mbox{P}(X=k)=p^{k}\cdot (1-p),$$ $k$ $$\operatorname{E}X=\sum_{k=0}^\infty kp^k \cdot (1-p)=\sum_{k=0}^\infty kp^k-\sum_{k=0}^\infty kp^{k+1}.$$ $$\sum_{k=0}^\infty kp^k=\sum_{k=0}^\infty (k+1)p^{k+1}$$ $$\sum_{k=0}^\infty kp^k-\sum_{k=0}^\infty kp^{k+1}=\sum_{k=0}^\infty (k+1)p^{k+1}-\sum_{k=0}^\infty kp^{k+1}=\sum_{k=0}^\infty p^{k+1}=p\sum_{k=0}^\infty p^{k}=\frac{p}{1-p}$$ де ми використовували, що коли (див. геометричний ряд ).$\sum_{k=0}^\infty p^k=1/(1-p)$$0<p<1$

Якщо , маємо те . Тобто в середній сім’ї 1 хлопчик. Ми вже знаємо, що в усіх сім'ях є 1 дівчинка, тому коефіцієнт з часом навіть вийде .$p=1/2$$\operatorname{E}X=0.5/0.5$$1/1=1$

Випадкова величина відома як геометрична випадкова величина .$X$

Підсумок

Проста модель, що всі народження незалежно мають 50% шансів бути дівчатками, нереальна і, як виявляється, виняткова. Як тільки ми розглянемо наслідки коливання результатів серед населення, відповідь полягає в тому, що співвідношення дівчина: хлопчик може бути будь-яким значенням, що не перевищує 1: 1. (Насправді це, ймовірно, все ще буде близьким до 1: 1, але це питання для аналізу даних.)

Оскільки обидва ці суперечливі відповіді отримані, якщо припустити статистичну незалежність результатів народження, заклик до незалежності є недостатньою поясненням. Таким чином, виявляється, що варіація (в шансах на народження жінки) є ключовою ідеєю парадоксу.

Вступ

Парадокс виникає тоді, коли ми думаємо, що у нас є вагомі підстави чомусь вірити, але стикаємося з твердим аргументом протилежного.

Задовільна резолюція парадокса допомагає нам зрозуміти, що було правильним, а що може бути неправильним в обох аргументах. Як це часто буває у ймовірності та статистиці, обидва аргументи можуть бути дійсно дійсними: резолюція залежатиме від відмінностей між припущеннями , які зроблені неявно. Порівнюючи ці різні припущення, можна допомогти нам визначити, які аспекти ситуації призводять до різних відповідей. Визначення цих аспектів, я стверджую, - це те, що нам слід найбільше цінувати.

Припущення

Як свідчать всі відповіді розміщені до сих пір, то природно припустити , що жінки пологів відбуваються незалежно один від одного і з постійними ймовірностями від . Добре відомо, що жодне припущення насправді не відповідає дійсності, але, здавалося б, незначні відхилення від цих припущень не повинні сильно впливати на відповідь. Побачимо. З цією метою розглянемо наступну більш загальну та реалістичну модель:$1/2$

1. У кожній родині ймовірність жіночого народження є постійним , незалежно від порядку народження.$i$$p_i$

2. За відсутності будь-якого правила зупинки очікувана кількість народжених жінок в популяції має бути близькою до очікуваної кількості народжених чоловіків.

3. Усі результати народження (статистично) незалежні.

Це все ще не є повністю реалістичною моделлю людських народжень, в якій може змінюватись у залежності від віку батьків (особливо матері). Однак це достатньо реалістично та гнучко, щоб забезпечити задовільне вирішення парадоксу, яке стосуватиметься навіть більш загальних моделей.$p_i$

Аналіз

Хоча цікаво провести ретельний аналіз цієї моделі, основні моменти стають очевидними навіть тоді, коли розглядається конкретна, проста (але дещо екстремальна) версія. Припустимо, населення має родини. У половині з них шанс народження жінки становить а в іншій половині шанс народження жінки становить . Це явно задовольняє умову (2): очікувана кількість жіночих та чоловічих пологів однакова.$2N$$2/3$$1/3$

Розглянемо ці перші родин. Будемо міркувати з точки зору очікувань, розуміючи, що фактичні результати будуть випадковими і тому трохи відрізнятимуться від очікувань. (Ідея наступного аналізу була викладена більш коротко і просто в оригінальній відповіді, яка з’являється в самому кінці цієї публікації.)$N$

Нехай - очікувана кількість жіночих народжень у популяції з постійною ймовірністю народження жінки . Очевидно , що це пропорційно і тому можуть бути записані . Аналогічно нехай - очікувана кількість народжених чоловіків.$f(N,p)$$N$$p$$N$$f(N,p) = f(p)N$$m(p)N$

• Перші родини виробляють дівчинку і зупиняються. Інші родин виробляють хлопчика і продовжують народжувати дітей. Це дівчата і хлопчиків до сих пір.$pN$$(1-p)N$$pN$$(1-p)N$

• Решта сімей перебувають у тому ж становищі, що і раніше:$(1-p)N$ припущення про незалежність (3) означає, що те, що вони переживають у майбутньому, не впливає на те, що їх первістком був син. Таким чином, ці сім'ї дадуть більше дівчаток і більше хлопчиків.$f(p)[(1-p)N]$$m(p)[(1-p)N]$

Додавання загальної кількості дівчаток та загальної кількості хлопчиків та порівняння їх передбачуваних значень та дає рівняння$f(p)N$$m(p)N$

$$f(p)N = pN + f(p)(1-p)N\ \text{ and }\ m(p)N = (1-p)N + m(p)(1-p)N$$

з розчинами

$$f(p) = 1\ \text{ and }\ m(p) = \frac{1}{p}-1.$$

Очікувана кількість дівчат у перших сім'ях, при цьому , тому дорівнює і очікувана кількість хлопчиків становить .$N$$p=2/3$$f(2/3)N = N$$m(2/3)N = N/2$

Очікувана кількість дівчат у другій сім'ях з , тому дорівнює а очікувана кількість хлопців - .$N$$p=1/3$$f(1/3)N = N$$m(1/3)N = 2N$

Усього складають дівчаток і хлопчиків. Для великих очікуване співвідношення буде близьким до відношення очікувань,$(1+1)N = 2N$$(1/2+2)N = (5/2)N$$N$

$$\mathbb{E}\left(\frac{\text{# girls}}{\text{# boys}}\right) \approx \frac{2N}{(5/2)N} = \frac{4}{5}.$$

Правило зупинки надає перевагу хлопцям!

Більш загально, для половини сімей, які несуть дівчаток незалежно з вірогідністю а інша половина несе хлопців незалежно з вірогідністю , умови (1) - (3) продовжують застосовуватись і очікуване співвідношення для великих підходів$p$$1-p$$N$

$$\frac{2p(1-p)}{1 - 2p(1-p)}.$$

Залежно від , який, звичайно, лежить між і , це значення може бути десь від до (але ніколи не більше ). Він досягає свого максимуму лише коли . Іншими словами, очікуване співвідношення дівчина: хлопчик 1: 1 - особливий виняток із більш загального та реалістичного правила, що зупинка з першою дівчиною надає перевагу більшості хлопців серед населення.$p$$0$$1$$0$$1$$1$$1$$p=1/2$

Дозвіл

Якщо ваша інтуїція полягає в тому, що зупинка з першою дівчиною повинна народити більше хлопчиків серед населення, то ви вірні, як це показує цей приклад. Щоб виправити все, що вам потрібно, це те, що ймовірність народження дівчинки різниться (навіть зовсім небагато) серед сімей.

"Офіційна" відповідь про те, що співвідношення має бути близьким до 1: 1, вимагає декількох нереальних припущень і є чутливою до них: вона припускає, що між сім'ями не може бути різниці, і всі народження повинні бути незалежними.

Коментарі

Основна ідея, яку підкреслив цей аналіз, полягає в тому, що розміна в межах сукупності має важливі наслідки. Незалежність народжень - хоча це спрощене припущення, що використовується для кожного аналізу в цій темі - не вирішує парадокс, оскільки (залежно від інших припущень) воно відповідає як офіційній відповіді, так і її протилежному.

Зауважимо, однак, що для очікуваного коефіцієнта суттєво відхилення від 1: 1 нам потрібно багато варіацій серед у сукупності. Якщо всі , скажімо, між 0,45 і 0,55, то наслідки цієї зміни будуть не дуже помітні. Для вирішення цього питання про те, що насправді є в людській популяції, потрібен досить великий і точний набір даних. Можна використовувати узагальнену лінійну змішану модель і тест на наддисперсію .p i p $p_i$$p_i$$p_i$

Якщо ми замінимо стать на якусь іншу генетичну експресію, то отримаємо просте статистичне пояснення природного відбору : правило, що диференційно обмежує кількість потомства, виходячи з їх генетичного складу, може систематично змінювати пропорції цих генів у наступному поколінні. Якщо ген не пов'язаний із статтю, навіть невеликий ефект буде мультиплікативно поширюватися через наступні покоління і може швидко збільшуватися.

---

Оригінальна відповідь

Кожна дитина має порядок народження: первістка, друга народжена тощо.

Якщо припустити рівну ймовірність народження чоловіків і жінок та відсутність кореляції між статями, Законодавство слабких чисел численних свідчить, що співвідношення первісток до чоловіків буде 1: 1 . З цієї ж причини буде близьким співвідношення 1: 1 жінок, що народилися, до чоловіків тощо. Оскільки ці коефіцієнти постійно становлять 1: 1, загальне співвідношення також має бути 1: 1, незалежно від того, яка відносна частота порядків народження виявляється у популяції.

Народження кожної дитини - це незалежна подія з P = 0,5 для хлопчика та P = 0,5 для дівчинки. Інші деталі (наприклад, сімейні рішення) лише відволікають вас від цього факту. Отже, відповідь полягає в тому, що співвідношення дорівнює 1: 1 .

Щоб пояснити це: уявіть, що замість того, щоб мати дітей, ви перегортаєте справедливу монету (P (голови) = 0,5), поки не отримаєте "голови". Скажімо, сім'я A гортає монету і отримує послідовність [хвости, хвости, голови]. Потім Сімейство Б гортає монету і отримує хвости. Тепер, яка ймовірність, що наступними будуть голови? Ще 0,5 , бо це те, що означає незалежність . Якщо ви робили це для 1000 сімей (а це означає, що 1000 головок придумали), очікувана загальна кількість хвостів - 1000, оскільки кожен фліп (подія) був повністю незалежним.

Деякі речі не є незалежними, наприклад, послідовність в сім'ї: ймовірність послідовності [голови, голови] дорівнює 0, не дорівнює [хвости, хвости] (0,25). Але оскільки питання про це не задається, це не має значення.

Уявіть, як киньте справедливу монету, поки не спостерігаєте за головою. Скільки хвостів ти кидаєш?

$P(0 \text{ tails}) = \frac{1}{2}, P(1 \text{ tail}) = (\frac{1}{2})^2, P(2 \text{ tails}) = (\frac{1}{2})^3, ...$

Очікувана кількість хвостів легко підраховується *, що дорівнює 1.

Кількість голів завжди 1.

* Якщо це не ясно, то дивіться "накидання докази» тут

Пари з рівно однією дівчиною і без хлопчиків є найпоширенішими

Причиною цього все є те, що ймовірність одного сценарію, в якому більше дівчат, значно більша, ніж сценарії, де хлопців більше. І сценарії, де набагато більше хлопців, мають дуже низьку ймовірність. Конкретний спосіб її розробки проілюстровано нижче

NumberOfChilden Probability  Girls   Boys  
1               0.5           1       0  
2               0.25          1       1  
3               0.125         1       2  
4               0.0625        1       3  
...             ...           ...     ...  

NumberOfChilden Probability   Girls*probabilty   Boys*probabilty 
1               0.5           0.5                0
2               0.25          0.25               0.25
3               0.125         0.125              0.25
4               0.0625        0.0625             0.1875
5               0.03125       0.03125            0.125
...             ...           ...                ...  
n               1/2^n         1/(2^n)            (n-1)/(2^n)

Ви можете майже побачити, де це відбувається в цей момент, загалом дівчата та хлопці збираються до одного.

Очікувані дівчата з однієї пари Очікувані хлопці з однієї пари${}=\sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{2^n})=1$
${}=\sum_{n=1}^\infty(\frac{n-1}{n^2})=1$

^{Обмежте рішення від wolfram}

Будь-яке народження, в якій би сім’ї воно не було, має 50:50 шанс стати хлопчиком чи дівчиною

Це все має внутрішній сенс, оскільки (намагайтеся, як пари можуть) ви не можете контролювати ймовірність того, що певний народження буде хлопчиком чи дівчиною. Не має значення, чи народиться дитина в парі, яка не має дітей, або в сім’ї зі ста хлопців; шанс 50:50, тож якщо кожне окреме народження має шанс 50:50, то завжди слід отримувати половину хлопчиків та половину дівчаток. І не важливо, як ви перемішуєте пологи між сім'ями; ви не збираєтесь на це впливати.

Це працює для будь-якого ¹ правила

Оскільки, завдяки шансу 50:50 для будь-якого народження, співвідношення закінчиться як 1: 1 для будь-якого (розумного ¹ ) правила, яке ви можете придумати. Наприклад, подібне правило нижче також працює

Пари перестають мати дітей, коли у них є дівчинка або двоє дітей

NumberOfChilden Probability   Girls   Boys
1               0.5           1       0
2               0.25          1       1
2               0.25          0       2

У цьому випадку загальна очікувана кількість дітей легше підраховується

Очікували дівчат від однієї пари${}=0.5\cdot1 + 0.25\cdot1 =0.75$
${}=0.25\cdot1 + 0.25\cdot2 =0.75$

¹ Як я вже говорив це працює для будь-якого розумного правила , які могли б існувати в реальному світі. Нерозумним було б правило, коли очікувані діти на пару були нескінченними. Наприклад, "Батьки перестають народжувати дітей лише тоді, коли у них вдвічі більше хлопчиків, ніж у дівчаток", ми можемо використовувати ті самі методи, що і вище, щоб показати, що це правило дає нескінченним дітям:

NumberOfChilden Probability   Girls   Boys
3               0.125         1       2
6               1/64          2       4
9               1/512         3       6
3*m             1/((3m)^2     m       2m

Тоді ми можемо знайти кількість батьків з кінцевою кількістю дітей

Очікувана кількість батьків з кінцевими дітьми${}=\sum_{m=1}^\infty(\frac{1}{1/(3m)^2})=\frac{\pi^2}{54}=0.18277\ldots.$

^{Обмежте рішення від wolfram}

Тож із цього ми можемо встановити, що 82% батьків мали б нескінченну кількість дітей; з точки зору містобудування, це, ймовірно, спричинило б труднощі і показує, що такий стан не міг існувати в реальному світі.

Ви також можете використовувати моделювання:

p<-0
for (i in 1:10000){
  a<-0
  while(a != 1){   #Stops when having a girl
    a<-as.numeric(rbinom(1, 1, 0.5))   #Simulation of a new birth with probability 0.5
    p=p+1   #Number of births
  }
}
(p-10000)/10000   #Ratio

Зображення цього допомогло мені краще зрозуміти, як співвідношення народжуваності (вважається, що це 1: 1) та співвідношення чисельності населення дітей дорівнюватиме 1: 1. Хоча в деяких сім’ях буде кілька хлопців, але лише одна дівчинка, що спочатку спонукало мене до думки, що хлопчиків буде більше, ніж дівчаток, кількість цих сімей не перевищує 50% і зменшиться вдвічі з кожною додатковою дитиною, тоді як кількість сімей лише для однієї дівчинки складе 50%. Кількість хлопчиків і дівчат, таким чином, вирівняє один одного. Дивіться підсумки 175 внизу.

Що ви отримали - це найпростіша і правильна відповідь. Якщо ймовірність того, що новонароджена дитина стане хлопчиком, дорівнює, а дітей неправильної статі не зустрічаються нещасними нещасними випадками, то не має значення, чи приймають батьки рішення про те, щоб мати більше дітей за ознакою статі дитини. Якщо кількість дітей N і N велика, можна очікувати приблизно p * N хлопчиків. Немає потреби у складнішому розрахунку.

Звичайно, є й інші питання, наприклад "яка ймовірність того, що наймолодша дитина в сім'ї з дітьми - хлопчик", або "яка ймовірність того, що найстарша дитина в сім'ї з дітьми - хлопчик". (Один з них має просту правильну відповідь, інший - просту неправильну відповідь, і отримати правильну відповідь складно).

Дозволяє

$\text{$\Omega$={(G),(B,G),(B,B,G),$\dots$}}$

бути пробним простором і нехай

$\text{X: $\Omega\longrightarrow\mathbb{R}$; $\omega\mapsto\vert\omega\vert$-1}$

$\omega$$\text{E(X)}$

$\text{E(X)=$\sum_{n=1}^\infty(\text{n-1})\cdot0.5^n$=1}$

Тривіально очікуване значення дівчат - 1. Тож співвідношення теж 1.

Це хитрі питання. Співвідношення залишається однаковим (1: 1). Правильна відповідь полягає в тому, що це не впливає на коефіцієнт народжуваності, але впливає на кількість дітей в сім'ї з обмежувальним коефіцієнтом в середньому 2 народження на сім'ю.

Це питання, яке ви можете знайти на логічному тесті. Відповідь не у співвідношенні народжуваності. Це відволікання.

Це не питання ймовірності, а питання когнітивного міркування. Навіть якщо ви відповіли співвідношенням 1: 1, ви все-таки провалили тест.

Я показую код, який я написав для моделювання в Монте-Карло (сім'ї 500х1000) за допомогою програмного забезпечення `MATLAB '. Будь ласка, уважно вивчіть код, щоб я не помилився.

Результат генерується та малюється нижче. Це показує, що модельована ймовірність народження дівчини дуже добре узгоджується з базовою природною ймовірністю народження незалежно від правила зупинки для діапазону природної ймовірності народження.

Граючи з кодом, простіше зрозуміти один момент, якого я не робив раніше --- як вказують інші, правило зупинки - це відволікання. Правило зупинки впливає лише на кількість сімей, які отримують постійне населення, або з іншого погляду на кількість народжених дітей із заданою кількістю сімей. Стать визначається виключно колом, і тому співвідношення чи ймовірність (яка не залежить від кількості дітей) буде залежати виключно від природного хлопчика: рато народження дівчини

testRange=0.45:0.01:0.55;
N=uint32(100000); %Used to approximate probability distribution
M=1000; %Number of families
L=500; %Monte Carlo repetitions
Nfamily=zeros(length(testRange),1);
boys=zeros(length(testRange),1);
girls=zeros(length(testRange),1);
for l = 1:L
    j=1; %Index variable for the different bgratio
    for bgratio=testRange
    k=1; %Index variable for family in each run (temp family id)
    vec=zeros(N,1);
    vec(1:N*bgratio,1)=1; %Approximate boy:girl population for dice roll, 
    %1 = boy

    vec=vec(randperm(s,N)); %Random permutation, technically not necessary 
    %due to randi used later, just be safe
    bog = vec(randi(N)); %boy or girl? (God's dice roll)

    while k<M %For M families...
        if bog == 1 %if boy:
            boys(j) = boys(j)+1; %total global boys tally
        else
            girls(j)=girls(j)+1; %total global girls tally
            %Family stops bearing children
            Nfamily(j) = Nfamily(j)+1; %total global family tally
            k=k+1; %temp family id
            %Next family...
        end
        bog=vec(randi(N)); %Sample next gender (God's dice roll)
    end

    j=j+1; %Index variable for the different bgratio
    end
end
figure;
scatter(testRange,girls./(boys+girls))
hold on
line([0 1],[0 1],'LineStyle','--','Color','k')
axis([0.44 0.56 0.44 0.56])

$i^{th}$$X_i$$0.5$

$E[\sum_i X_i] = \sum_i E[X_i] = 0.5 n$$n$

$E[\sum_i (1- X_i)] = \sum_i E[1-X_i] = 0.5 n$

Незалежність народжених не має значення для розрахунку очікуваних значень.

---

Відповідь Apropos @ whuber, якщо є різниця граничної ймовірності в сім'ях, відношення стає перекошеним у бік хлопчиків, через те, що в сім'ях з більшою ймовірністю хлопчиків є більше дітей, ніж у сімей з меншою ймовірністю, тим самим надаючи посилюючий ефект очікувана ціннісна сума для хлопців.

Я самостійно також запрограмував симуляцію в matlab, перш ніж побачити, що зробили інші. Строго кажучи, це не MC, тому що я провожу експеримент лише один раз. Але одного разу достатньо для отримання результатів. Ось, що дає моє моделювання. Я не вважаю, що ймовірність того, що народження може бути р = 0,5, є примітивом. Я дозволяю ймовірності народження змінюватися в межах Pr (хлопчики = 1) = 0,25: 0,05: 0,75.

Мої результати показують, що, оскільки ймовірність відхиляється від р = 0,5, статеве співвідношення відрізняється від 1: у очікуванні статеве співвідношення - це просто відношення ймовірності народження хлопчика до ймовірності народження дівчинки. Тобто це геометрична випадкова величина, визначена раніше @ månst. Це те, на що я вважаю, що оригінальний плакат був інтуїтивним.

Мої результати чітко імітують те, що було зроблено вищенаведеним плакатом з кодом matlab, збігаючи статеві співвідношення при ймовірності 0,45, 0,50 та 0,55, що народиться хлопчик. Я представляю свою, коли я використовую трохи інший підхід, щоб досягти результатів із швидшим кодом. Для здійснення порівняння я опустив розділ коду vec = vec (randperm (s, N)), оскільки s не визначений у їхньому коді, і я не знаю початкового наміру цієї змінної (цей розділ коду також здається зайвим - як спочатку заявлено).

Я розміщую свій код

clear all; rng('default')

prob_of_boy = 0.25:0.05:0.75;
prob_of_girls = 1 - prob_of_boy;

iterations = 200;

sex_ratio = zeros(length(prob_of_boy),1);
prob_of_girl_est = zeros(length(prob_of_boy),1);
rounds_of_reproduction = zeros(length(prob_of_boy),1);

for p=1:length(prob_of_boy)

    pop = 1000000;

    boys = zeros(iterations,1);
    girls = zeros(iterations,1);
    prob_of_girl = zeros(iterations,1);

    for i=1:iterations

        x = rand(pop,1);
        x(x<prob_of_boy(p))=1;

        %count the number of boys and girls
        num_boys = sum(x(x==1));

        boys(i) = num_boys;
        girls(i) = pop - num_boys;

        prob_of_girl(i) = girls(i)/(pop);

        %Only families that had a boy continue to reproduce
        x = x(x==1);

        %new population of reproducing parents
        pop = length(x);

        %check that there are no more boys 
        if num_boys==0

            boys(i+1:end)=[];
            girls(i+1:end)=[];
            prob_of_girl(i+1:end)=[];
            break

        end
    end

    prob_of_girl_est(p) = mean(prob_of_girl(prob_of_girl~=0));
    sex_ratio(p) = sum(boys)/sum(girls);
    rounds_of_reproduction(p) = length(boys);
end

scatter(prob_of_girls,prob_of_girl_est)
hold on
title('Est. vs. True Probability of a Girl Birth')
ylabel('Est. Probability of Girl Birth')
xlabel('True Probability of Girl Birth')
line([0 1],[0 1],'LineStyle','--','Color','k')
axis([0.2 0.8 0.2 0.8])

scatter(prob_of_girls,sex_ratio)
hold on
title('Sex Ratio as a function of Girls')
xlabel('Probability of Girls Birth')
ylabel('Sex Ratio: $\frac{E(Boys)}{E(Girls)}$','interpreter','latex')

scatter(prob_of_girls,rounds_of_reproduction)
hold on
title('Rounds of Reproduction a function of Girls')
xlabel('Probability of Girls Birth')
ylabel('Rounds of Reproduction')

Наступний графік очікується, враховуючи сильний закон великої кількості. Я відтворюю це, але важливий графік - це другий графік.

Тут вірогідність населення, що не перевищує 0,5, для народження будь-якої статі дитини, змінить статевий коефіцієнт у загальній сукупності. Якщо припустити, що народження є незалежними (але не вибір для продовження відтворення), то в кожному раунді умовного відтворення вірогідність населення визначає загальний склад результатів народження хлопчиків і дівчаток. Отже, як згадували інші, правило зупинення проблеми не має значення для результатів популяції, на що відповідає афіша, яка визначила це геометричним розподілом.

Для повноти те, що впливає на правило зупинки, - це кількість раундів відтворення у популяції. Оскільки експеримент я запускаю лише один раз, графік трохи нерівний. Але інтуїція існує: для даного чисельності населення, коли збільшується ймовірність народження дівчинки, ми бачимо, що сім'ї потрібно менше циклів відтворення, щоб отримати бажану дівчину до того, як все населення перестане відтворюватись (очевидно, кількість раундів буде залежати від чисельність населення, оскільки це механічно збільшує ймовірність того, що в сім'ї з'явиться 49 хлопців, перш ніж вони отримають свою першу дівчину)

Порівняння між моїми розрахунковими статевими співвідношеннями:

[sex_ratio' prob_of_boy']

0.3327    0.2500
0.4289    0.3000
0.5385    0.3500
0.6673    0.4000
0.8186    0.4500
1.0008    0.5000
1.2224    0.5500
1.5016    0.6000
1.8574    0.6500
2.3319    0.7000
2.9995    0.7500

і ті з попереднього плаката з кодом matlab:

[boys./girls testRange']

0.8199    0.4500
0.8494    0.4600
0.8871    0.4700
0.9257    0.4800
0.9590    0.4900
1.0016    0.5000
1.0374    0.5100
1.0836    0.5200
1.1273    0.5300
1.1750    0.5400
1.2215    0.5500

Вони є рівнозначними результатами.

Це залежить від кількості сімей.

$X$$p=0.5$

$$P(X = x) = 0.5^x, x=1,2,3...$$ $E(X) = 2$

$N$

$$\frac{N}{ \sum X_i}$$

$\sum X_i /N \rightarrow E(X) = 2$$N \rightarrow \infty$

$T$$T = \sum X_i$$T$

$$P(T=t) = C^{t-1}_{N-1} 0.5^t, t = N, N+1...$$

$$E\left[ \frac{N}{\sum X_i} \right] = E\left[ \frac{N}{T} \right] = \sum_{t=N}^{\infty} \frac{N}{t} C^{t-1}_{N-1} 0.5^t = {_2F_1} (N, 1, N+1, -1)$$ $_2F_1$

${_2F_1} (N, 1, N+1, -1)$