Яка ймовірність того, що букмекерський контент неціновує шанси на футбольні ігри?

9

Англійська футбольна команда проводить серію матчів проти різних супротивників різної здатності. Букмекер пропонує для кожного матчу шанси на те, чи буде це перемога удома, виграна в гостях чи нічия. Протягом сезону команда зіграла матчів і з них , що більше, ніж можна очікувати від шансів. $n$ $k$

Яка ймовірність того, що букмекер не вказує на цінні шанси на ці матчі, а не просто не пощастить? Якщо букмекер продовжує ціну матчів, що залишилися команди, так само, і я поставив , що кожен з них буде нічиї, що мій очікуваний дохід? $\$1$

probability games gambling

— Родріго де Азеведо
джерело

2

Раніше запитували в math.stackexchange.com/q/31871/18398

— Джоель Рейес Ноче

9

Відповідь на ваше запитання мудро залежить від того, яку інформацію та припущення ви збираєтесь використовувати. Це тому, що результат гри - надзвичайно складний процес. Це може стати довільно складним залежно від того, яку інформацію ви маєте:

Гравці в конкретній команді - можливо, навіть конкретні комбінації гравців можуть бути доречними.
Гравці в інших командах
Історія ліги за минулий час
Наскільки стабільні гравці команди - чи гравці продовжують обиратись та відпадати, чи це те саме 11.
Час, коли ви робите ставку (під час гри? Раніше? Скільки раніше? Яка інформація втрачається від ставок, перш ніж робити ставки в день?)
якусь іншу релевантну особливість футболу, яку я опустив.

Шанси, які дає книговидавець, не є відображенням шансів книговидачів. що неможливо, якщо вони є ймовірностями. Букмейкер відрегулює коефіцієнти, коли хтось зробить ставку на нічию, і відрегулює їх, коли хтось зробить ставку на невиграш. Таким чином, шанси - це відображення азартних гравців (які використовують цього книговидача) шанси в цілому. Отож, не букмекерська організація сама по собі не вистачає цін, це гральний колектив - або "середній гравець".

Тепер, якщо ви готові припустити, що будь-який «причинно-наслідковий механізм» в результаті чого розіграш залишається незмінним протягом усього сезону (розумний? Мабуть, ні ...), виходить проста математична проблема (але зауважте, що немає причин для цього бути "правильніше", ніж якесь інше спрощення припущення). Щоб нагадати, що це припущення, яке використовується, на умовному боці ймовірностей буде поставленоЗа цим припущенням застосовується біноміальний розподіл: $A$

P (k Draws in n matches | θ, A) = (\binom{n}{k}) θ^{k} (1 - θ)^{n - k}

$P(\text{k Draws in n matches}|\theta,A)={n \choose k}\theta^{k}(1-\theta)^{n-k}$

І ми хочемо обчислити наступне

P (next match is a draw | k Draws in n matches, A)

$P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A)$

= \int_{0}^{1} P (next match is a draw | θ, A) P (θ | k Draws in n matches, A) d θ

$=\int_{0}^{1}P(\text{next match is a draw}|\theta,A)P(\theta|\text{k Draws in n matches},A)d\theta$

де

P (θ | k Draws in n matches, A) = P (θ | A) \frac{P (k Draws in n matches | θ, A)}{P (k Draws in n matches | A)}

$P(\theta|\text{k Draws in n matches},A)=P(\theta|A)\frac{P(\text{k Draws in n matches}|\theta,A)}{P(\text{k Draws in n matches}|A)}$

є задньою для . Зараз у цьому випадку цілком очевидно, що можливо, щоб відбулося жеребкування, а також можливо, щоб воно не відбулося, тому єдиний попередній варіант доречний (якщо немає додаткової інформації, яку ми хочемо включити за підсумками сезону ) і встановлюємо . Задня частина надається бета-розподілом (де - бета-функція ) $\theta$ $P(\theta|A)=1$ $B(\alpha,\beta)$

P (θ | k Draws in n matches, A) = \frac{θ^{k} (1 - θ)^{n - k}}{B (k + 1, n - k + 1)}

$P(\theta|\text{k Draws in n matches},A)=\frac{\theta^{k}(1-\theta)^{n-k}}{B(k+1,n-k+1)}$

З огляду на та ймовірність того, що наступний матч є нічиєю, є просто тому інтеграл стає: $\theta$ $A$ $\theta$

\int_{0}^{1} θ \frac{θ^{k} (1 - θ)^{n - k}}{B (k + 1, n - k + 1)} d θ = \frac{B (k + 2, n - k + 1)}{B (k + 1, n - k + 1)} = \frac{k + 1}{n + 2}

$\int_{0}^{1}\theta \frac{\theta^{k}(1-\theta)^{n-k}}{B(k+1,n-k+1)}d\theta=\frac{B(k+2,n-k+1)}{B(k+1,n-k+1)}=\frac{k+1}{n+2}$

а отже, ймовірність просто:

P (next match is a draw | k Draws in n matches, A) = \frac{k + 1}{n + 2}

$P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A)=\frac{k+1}{n+2}$

Але зауважте, що це залежить від - припущень, які були зроблені. Викликайте «цінами шанси» розподіл усіх зумовлюють який - або інший невідомої складної інформації, скажімо . Отже, якщо опубліковані шанси відрізняються від вищевказаної фракції, то це говорить про те, що і призводять до різних висновків, тому обидва не можуть мати рацію щодо "справжнього результату" (але обидва можуть бути правильними залежно від припущень, зроблених кожним ). $A$ $B$ $A$ $B$

УДІЛЬНИК УДАР

Цей приклад показав, що відповідь на ваше запитання зводилася до того, щоб вирішити, чи був більш "точним", ніж описуючи механіку футбольної гри. Це буде відбуватися незалежно від того , що пропозиція трапляється . Ми завжди будемо зводитись до питання, "чиї припущення є правильними, гральний колектив чи мій?" Останнє запитання - це в основному невідчутне запитання, поки ви точно не дізнаєтесь, з чого складається пропозиція (або принаймні деякі ключові її ознаки). Бо як можна порівняти те, що відомо, з тим, що ні? $A$ $B$ $A$ $B$

ОНОВЛЕННЯ: Справжня відповідь :)

Як @whuber примхливо зазначив, я насправді тут не дав очікуваного значення - тому ця частина просто завершує цю частину моєї відповіді. Якщо слід припустити, що вірно з ціновими коефіцієнтами , то ви очікуєте, що в наступній грі ви отримаєте $A$ $Q$

Q \times P (next match is a draw | k Draws in n matches, A) - 1

$Q\times P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A)-1$

= Q \times \frac{k + 1}{n + 2} - 1 = \frac{Q (k + 1) - n - 2}{n + 2}

$=Q\times \frac{k+1}{n+2}-1=\frac{Q(k+1)-n-2}{n+2}$

Тепер, якщо ви припускаєте, що значення базується на тій же моделі, що і ваша, тоді ми можемо точно передбачити, як зміниться в майбутньому. Припустимо, ґрунтувався на іншому до рівномірного, скажімо, , тоді відповідна ймовірність $Q$ $Q$ $Q$ $Beta(\alpha_Q,\beta_Q)$

P (next match is a draw | k Draws in n matches, A_{Q}) = \frac{k + α_{Q}}{n + α_{Q} + β_{Q}}

$P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A_Q)=\frac{k+\alpha_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}$

з очікуваним поверненням

\frac{Q (k + α_{Q}) - n - α_{Q} - β_{Q}}{n + α_{Q} + β_{Q}}

$\frac{Q(k+\alpha_Q)-n-\alpha_Q-\beta_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}$

Тепер, якщо ми зробимо "попередню вагу" де - тривалість сезону (це дозволить "пропустити ціни" продовжуватись до решти сезону) та встановити очікуване повернення до нуля, ми отримаємо: $\alpha_Q+\beta_Q = \frac{N}{2}$ $N$

α_{Q} = \frac{2 n + N}{2 Q} - k

$\alpha_Q=\frac{2n+N}{2Q}-k$

(ПРИМІТКА: якщо це не реальна модель, буде залежати від того, коли був проведений цей розрахунок, оскільки це залежить від яке буде змінюватися з часом). Тепер ми можемо передбачити, як буде коригуватися у майбутньому, він додасть до знаменника для кожного матчу та до чисельника, якщо відповідність була нічиєю. Тож очікувані шанси після першого матчу: $\alpha_Q$ $n,k,Q$ $Q$ $1$ $1$

(1 + \frac{n + β_{Q} - k + 1}{k + α_{Q}}) \frac{n - k + β_{Q}}{n + α_{Q} + β_{Q}} + (1 + \frac{n + β_{Q} - k}{k + α_{Q} + 1}) \frac{k + α_{Q}}{n + α_{Q} + β_{Q}}

$(1+\frac{n+\beta_Q-k+1}{k+\alpha_Q})\frac{n-k+\beta_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}+(1+\frac{n+\beta_Q-k}{k+\alpha_Q+1})\frac{k+\alpha_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}$

= 1 + \frac{n + β_{Q} - k}{k + α_{Q}} (1 + \frac{2}{(2 n + N) (k + α_{Q} + 1)}) \approx 1 + \frac{n + β_{Q} - k}{k + α_{Q}}

$=1+\frac{n+\beta_Q-k}{k+\alpha_Q}\left(1+\frac{2}{(2n+N)(k+\alpha_Q+1)}\right)\approx 1+\frac{n+\beta_Q-k}{k+\alpha_Q}$

Тобто шанси не сильно зміниться протягом сезону. Використовуючи це наближення, ми отримуємо очікуваний прибуток протягом решти сезону як:

(N - n) \frac{Q (k + 1) - n - 2}{n + 2}

$(N-n)\frac{Q(k+1)-n-2}{n+2}$

Але пам’ятайте, що це ґрунтується на надмірно спрощеній моделі розіграшу (зверніть увагу: це не обов'язково означає, що це буде передбачувачем "лайно"). Не може бути однозначного відповіді на ваше запитання, оскільки не було визначеної моделі та не вказаної попередньої інформації (наприклад, скільки людей користується цим букмекером? Який оборот букмекера? Як мої ставки вплинуть на шанси, на які вони цінують?) Єдине, що було вказано, - це дані за один сезон, а також те, що для "певної не визначеної моделі" ймовірності суперечать тим, які мають на увазі ціноутворення на шанси.

— ймовірністьіслогічна
джерело

0

Букмекери використовують перекриття, так що насправді їм не байдуже, який результат, тому що вони виграють будь-що. Ось чому ви ніколи не зустрічаєте бідного букмекера. Якщо букмекерський контент неціновий, то ваша здатність отримувати прибуток залежатиме від шансів, які пропонував букмекер, і від того, чи отриманий прибуток покриє час, який ви втратите.

— Парбері
джерело

1

Це може бути правдою, але в основному не має значення, оскільки питання вимагає очікуваного повернення азартного гравця, а не очікуваного повернення букмекера

— ймовірністьлогічного

@probability Так що це очікується повернення Гравця? Я не зміг його знайти у вашій відповіді :-).

— whuber