Якщо

9

Припустимо наступне налаштування:
Нехай $Z_i = \min\{k_i, X_i\}, i=1,...,n$ . Також $X_i \sim U[a_i, b_i], \; a_i, b_i >0$ . Більше того, $k_i = ca_i + (1-c)b_i,\;\; 0<c<1$ тобто $k_i$ - це опукла комбінація меж відповідних опор. $c$ є загальним для всіх $i$ .

Я думаю, що я маю право на розподіл $Z_i$ правильно: це змішаний розподіл .
Він має суцільну частину,

X_{i} \in [a_{i}, k_{i}), Z_{i} = X_{i} \Rightarrow Pr (Z_{i} \leq z_{i}) = \frac{z_{i} - a_{i}}{b_{i} - a_{i}}

$X_i \in [a_i, k_i), Z_i=X_i \Rightarrow \Pr(Z_i \le z_i) = \frac {z_i-a_i}{b_i-a_i}$ а потім розрив і дискретна частина, де концентрація маси ймовірності:

Pr (Z_{i} = k_{i}) = Pr (X_{i} > k_{i}) = 1 - Pr (X_{i} \leq k_{i})

$\Pr(Z_i=k_i) = \Pr(X_i > k_i) = 1- \Pr(X_i \le k_i)$

= 1 - \frac{k_{i} - a_{i}}{b_{i} - a_{i}} = 1 - \frac{(1 - c) (b_{i} - a_{i})}{b_{i} - a_{i}} = c

$= 1- \frac {k_i - a_i}{b_i-a_i} = 1-\frac {(1-c)(b_i-a_i)}{b_i-a_i} =c$

Так у всіх

F_{Z_{i}} (z_{i}) = {\begin{cases} 0 z_{i} < a_{i} \\ \frac{z_{i} - a_{i}}{b_{i} - a_{i}} a_{i} \leq z_{i} < k_{i} \\ 1 k_{i} \leq z_{i} \end{cases}

$F_{Z_i}(z_i) = \begin{cases} 0\qquad z_i<a_i\\ \\ \frac {z_i-a_i}{b_i-a_i}\qquad a_i\le z_i<k_i \\ \\1\qquad k_i\le z_i\end{cases}$

тоді як для змішаної функції "дискретна / безперервна" маса / щільність вона дорівнює $0$ за межами інтервалу $[a_i, k_i]$ , вона має суцільну частину, яка є щільністю рівномірного $U(a_i, b_i)$ , $\frac {1}{b_i-a_i}$ але для $a_i\le z_i<k_i$ , і вона концентрує позитивну масу ймовірності $c >0$ при $z_i = k_i$ .

Загалом, це підсумовує єдність щодо дійсності.

Я хотів би мати можливість вивести або сказати щось про розподіл та / або моменти випадкової змінної $S_n \equiv \sum_{i=1}^n Z_i$ , як $n\rightarrow \infty$ .

Скажімо, якщо незалежні, це виглядає як як . Чи можу я «ігнорувати» цю частину, навіть як наближення? Тоді мені залишиться випадкова величина, яка знаходиться в інтервалі , схожий на суму цензурованої форми, на шляху до того, щоб стати "нецензурованою", і, можливо, якась центральна межа теореми ... але я, мабуть, розходяться, а не сходяться тут, так, якісь пропозиції? $X_i$ $\Pr(S_n = \sum_i^nk_i) = c^n \rightarrow 0$ $n\rightarrow \infty$ $[\sum_{i=1}^na_i,\; \sum_{i=1}^nk_i)$

PS: Це питання є актуальним. Виведення розподілу суми цензурованих змінних , але відповідь @Glen_b не те, що мені потрібно - я повинен працювати над цим аналітичним шляхом, навіть використовуючи наближення. Це дослідження, тому будь ласка, ставитесь до нього як до домашнього завдання - загальні пропозиції чи посилання на літературу є досить хорошими.

— Алекос Пападопулос
джерело

Якщо вам це потрібно, запишіть розподіл як , з відповідним , в якій - множина Бореля.

Z_{i}

$Z_i$

μ_{Z_{i}} (B) = P (Z_{i} \in B) = \int_{B} g (t) d t + c I_{B} (k_{i})

$\mu_{Z_i}(B)=P(Z_i\in B)=\int_B g(t)\,dt +c\,I_B(k_i)$

g

$g$

B

$B$

— Дзен

@Zen Я вже писав у запитанні, що розповсюдження припиняється. Також RHS з дає зрозуміти, що це означає щільність у , але є ймовірність для і я віддаю перевагу компактним позначенням.

f

$f$

f

$f$

[a_{i}, k_{i})

$[a_i,k_i)$

k_{i}

$k_i$

— Алекос Пападопулос

Наскільки мені відомо, це позначення з було pdf та pmf не існує; і ми маємо належну математичну мову, щоб точно описати змішані розподіли. Я сумніваюся, що ця нотація буде прийнята, коли ви опублікуєте своє дослідження. Просто моя думка, звичайно. Ви завжди повинні робити це так, як вам подобається.

f

$f$

— Дзен

@Zen Publishing - це довгий шлях - і справді, рецензенти нахмуряються, коли бачать невстановлену нотацію. Це лише скорочення, коли хочеться описати ступінчастий розподіл у багатьох рядках. Немає «аргументу на користь» і проти встановленої нотації, як, наприклад, той, який ви використовували в попередньому коментарі.

— Алекос Пападопулос

5

Я б дотримувався підказки Генрі і перевіряв Ляпунова з . Факт змішування розподілів не повинен бути проблемою, доки поведінка та поводиться належним чином. Моделювання конкретного випадку, коли , , для кожного показує, що нормальність нормальна. $\delta=1$ $a_i$ $b_i$ $a_i=0$ $b_i=1$ $k_i=2/3$ $i\geq 1$

xbar <- replicate(10^4, mean(pmin(runif(10^4), 2/3)))
hist((xbar - mean(xbar)) / sd(xbar), breaks = "FD", freq = FALSE)
curve(dnorm, col = "blue", lwd = 2, add = TRUE)

CLT

— Дзен
джерело

Справді досить нормально. Добре знати. Звичайні умови для CLT тут ніколи не були проблемою, моє питання - чи існували інші, можливо, тонкі проблеми, які закручували асимптотичний результат і вимагали модифікованого CLT. Ваше моделювання показує, що дійсно дискретний розрив стає незначним у ймовірності, оскільки більше змінних входить до суми.

— Алекос Пападопулос

Нічого конкретного, але вони не створюють жодних проблем. Подумайте про них, як добре поводяться кінцеві числа, незалежні від індексу . Вони можуть збільшуватися або зменшуватися в міру зростання (немає конкретного правила), і жодне з них непропорційно більше, ніж інші ... вони представляють різницю за розмірами все-таки "порівнянних" сутностей. Тож стан Ліндберга, безумовно, дотримується

i

$i$

i

$i$

— Алекос Пападопулос,

Приємно. Успіхів у наступних кроках. Виглядає як цікава проблема.

— Дзен

3

Підказки:

Якщо припустити, що є фіксованим і незалежними, то ви можете обчислити середнє значення та дисперсію кожного : наприклад і ви знаєте . $c$ $X_i$ $\mu_i$ $\sigma_i^2$ $Z_i$ $\mu_i=E[ Z_i] = c\frac{a_i+k_i}{2} + (1-c)k_i$ $k_i = ca_i + (1-c)b_i$

Тоді, якщо та не зростають занадто швидко, ви можете використовувати умови Ляпунова або Ліндеберга, щоб застосувати центральну граничну теорему з висновком, що у розподілі до стандартного нормального, або в ручному сенсом приблизно нормально розподіляється із середнім та дисперсія . $a_i$ $b_i$ $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{\sum_1^n \sigma_i^2}}\left(\sum_1^n Z_i - \sum_1^n \mu_i\right)$ $\sum_1^n Z_i$ $\sum_1^n \mu_i$ $\sum_1^n \sigma_i^2$

— Генрі
джерело

Дякую. Проблеми з

a_{i}

$a_i$ і і

b_{i}

$b_i$ вони не ростуть з індексом, вони просто коливаються навколо. Отже, ви по суті говорите, що CLT може охоплювати також випадкові змінні зі змішаним розподілом?

— Алекос Пападопулос

Якщо, наприклад,

a_{i}

$a_i$ і

b_{i}

$b_i$ були виправлені, тоді у вас були б незалежні однаково розподілені випадкові величини з кінцевою дисперсією, тому застосовуватиметься центральна гранична теорема. Це розподіл суміші чи ні, це не впливає на цей результат. Я говорю про те, що ви можете поширити це на випадки, коли випадкові змінні незалежні, але не розподілені однаково, за умови, що засоби та відхилення залишаються розумними.

— Генрі

2

Моє головне занепокоєння в цьому питанні полягало в тому, чи можна застосовувати CLT «як завжди» у випадку, коли я розглядаю. Користувач @Henry запевнив, що можна, користувач @Zen показав це за допомогою симуляції. Таким чином заохочується, я зараз доведемо це аналітично.

Я спершу збираюся переконатися, що ця змінна зі змішаним розподілом має "звичайну" функцію генерації моменту. Позначимо $\mu_i$ очікуване значення $Z_i$ , $\sigma_i$ його стандартне відхилення, а також по центру та масштабуванню версії $Z_i$ від $\tilde Z_i = \frac {Z_i-\mu_i}{\sigma_i}$ .
Застосовуючи формулу змінної змінної, ми виявляємо, що неперервна частина є

f_{\tilde{Z}} ({\tilde{z}}_{i}) = σ_{i} f_{Z} (z_{i}) = \frac{σ_{i}}{b_{i} - a_{i}}

$f_{\tilde Z}(\tilde z_i) = \sigma_if_Z(z_i) = \frac {\sigma_i}{b_i-a_i}$ Функція, що генерує момент

{\tilde{Z}}_{i}

$\tilde Z_i$ має бути

{\tilde{M}}_{i} (t) = E (e^{{\tilde{z}}_{i} t}) = \int_{- \infty}^{\infty} e^{{\tilde{z}}_{i} t} d F_{\tilde{Z}} ({\tilde{z}}_{i}) = \int_{{\tilde{a}}_{i}}^{{\tilde{k}}_{i}} \frac{σ_{i} e^{{\tilde{z}}_{i} t}}{b_{i} - a_{i}} d z_{i} + c e^{{\tilde{k}}_{i} t}

$\tilde M_i(t) = E(e^{\tilde z_it}) = \int_{-\infty}^{\infty}e^{\tilde z_it}dF_{\tilde Z}(\tilde z_i) = \int_{\tilde a_i}^{\tilde k_i}\frac{\sigma_ie^{\tilde z_it}}{b_i-a_i}dz_i + ce^{\tilde k_it}$

\Rightarrow {\tilde{M}}_{i} (t) = \frac{σ_{i}}{b_{i} - a_{i}} \frac{e^{{\tilde{k}}_{i} t} - e^{{\tilde{a}}_{i} t}}{t} + c e^{{\tilde{k}}_{i} t}

$\Rightarrow \tilde M_i(t)=\frac {\sigma_i}{b_i-a_i}\frac{e^{\tilde k_it}-e^{\tilde a_it}}{t} +ce^{\tilde k_it}$ з

{\tilde{к}}_{i} = \frac{к_{i} - {мк}_{i}}{σ_{i}}, {\tilde{а}}_{i} = \frac{а_{i} - {мк}_{i}}{σ_{i}}

$\tilde k_i = \frac {k_i-\mu_i}{\sigma_i},\;\; \tilde a_i = \frac {a_i-\mu_i}{\sigma_i}$

Використовуючи прайси для позначення похідних, якщо ми правильно вказали функцію генерування моменту, тоді нам слід отримати

{\tilde{M}}_{i} (0) = 1, {\tilde{M}}_{i}^{'} (0) = E (\tilde{Z}) = 0 \Rightarrow {\tilde{M}}_{i}^{″} (0) = E ({\tilde{Z}}_{i}^{2}) = Var ({\tilde{Z}}_{i}) = 1

$\tilde M_i(0) = 1, \;\; \tilde M_i'(0) = E(\tilde Z) = 0 \Rightarrow \tilde M_i''(0) = E(\tilde Z_i^2) = \operatorname {Var}(\tilde Z_i)=1$ оскільки це централізована і масштабована випадкова величина.
І дійсно, обчислюючи похідні, застосовуючи правило L'Hopital багато разів (оскільки значення MGF в нулі необхідно обчислювати через межі), і здійснюючи алгебраїчні маніпуляції, я перевірив перші дві рівності. Третя рівність виявилася занадто стомлювальною, але я вірю, що вона дотримується.

Таким чином, ми маємо належний MGF. Якщо взяти розширення Тейлора 2-го порядку навколо нуля, ми маємо

\tilde{M} (t) = \tilde{M} (0) + {\tilde{M}}^{'} (0) t + \frac{1}{2} {\tilde{M}}^{″} (0) t^{2} + o (t^{2})

$\tilde M(t) = \tilde M(0) + \tilde M'(0)t +\frac 12\tilde M''(0)t^2 + o(t^2)$

\Rightarrow \tilde{M} (t) = 1 + \frac{1}{2} t^{2} + o (t^{2})

$\Rightarrow \tilde M(t) = 1 + \frac 12t^2+ o(t^2)$

Це означає, що характерна функція є (тут $i$ позначає уявну одиницю)

\tilde{ϕ} (t) = 1 + \frac{1}{2} (i t)^{2} + o (t^{2}) = 1 - \frac{1}{2} t^{2} + o (t^{2})

$\tilde \phi(t) = 1 + \frac 12 (it)^2 + o(t^2)= 1 - \frac 12 t^2 + o(t^2)$ .

За властивостями характерної функції маємо, що характеристична функція $\tilde Z/\sqrt n$ дорівнює

{\tilde{ϕ}}_{\tilde{Z} / \sqrt{n}} (t) = {\tilde{ϕ}}_{\tilde{Z}} (t / \sqrt{n}) = 1 - \frac{t^{2}}{2 n} + o (t^{2} / n)

$\tilde \phi_{\tilde Z/\sqrt n}(t)=\tilde \phi_{\tilde Z}(t/\sqrt n) = 1 - \frac {t^2}{2n} + o(t^2/n)$

і оскільки у нас є незалежні випадкові величини, характерна функція $\frac 1{\sqrt n}\sum_i^n\tilde Z_i$ є

{\tilde{ϕ}}_{\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i}^{n} {\tilde{Z}}_{i}} (t) = \prod_{i = 1}^{n} {\tilde{ϕ}}_{\tilde{Z}} (t / \sqrt{n}) = \prod_{i = 1}^{n} (1 - \frac{t^{2}}{2 n} + o (t^{2} / n))

$\tilde \phi_{\frac 1{\sqrt n}\sum_i^n\tilde Z_i}(t)= \prod_{i=1}^n\tilde \phi_{\tilde Z}(t/\sqrt n)=\prod_{i=1}^n\left(1 - \frac {t^2}{2n} + o(t^2/n)\right)$

Тоді

lim_{n \to \infty} {\tilde{ϕ}}_{\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i}^{n} {\tilde{Z}}_{i}} (t) = lim_{n \to \infty} {(1 - \frac{t^{2}}{2 n})}^{n} = e^{- t^{2} / 2}

$\lim_{n\rightarrow \infty}\tilde \phi_{\frac 1{\sqrt n}\sum_i^n\tilde Z_i}(t) = \lim_{n\rightarrow \infty}\left(1 - \frac {t^2}{2n}\right)^n = e^{-t^2/2}$

за тим, як число $e$ представлена . Так трапляється, що останній член є характерною функцією стандартного нормального розподілу, і за теоремою про безперервність Леві ми маємо це

\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i}^{n} {\tilde{Z}}_{i} \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\frac 1{\sqrt n}\sum_i^n\tilde Z_i \xrightarrow{d} N(0,1)$

що є CLT. Зауважимо, що той факт, що $Z$ - змінні не є ідентично розподіленими, "зникли" з виду, коли ми розглянули їх центрировані та масштабовані версії та розглянули розширення Тейлора другого порядку їх MGF / CHF: на цьому рівні наближення ці функції однакові, і всі відмінності ущільнені в решті терміни, які зникають асимптотично.

Те, що ідіосинкратична поведінка на індивідуальному рівні, з усіх окремих елементів, все-таки зникає, коли ми розглядаємо середню поведінку, я вважаю, що це дуже добре показано з використанням бридкої істоти, як випадкова змінна, що має змішане поширення.

— Алекос Пападопулос
джерело

Дуже круто, Алеко. Я відчуваю, що аргумент повинен залежати від конкретніших умов

a_{i}

$a_i$ і і

b_{i}

$b_i$ 's. Наприклад: чи порушується доказ, якщо

(b_{i} - a_{i}) ↓ 0

$(b_i-a_i)\downarrow 0$ швидко? (Я знаю, що у вашій заяві цього не відбувається.) Як ви думаєте?

— Дзен

@Zen Питання щодо дисперсій незалежних, але не ідентично розподілених rv є дуже тонким, я не думаю, що я все ще розумію це чітко. Відомі умови Ляпунова або Ліндеберга достатньо лише для проведення CLT. Бувають випадки, коли CLT виконується, хоча ці умови не виконують. Тож я думаю, що якщо ми не обмежимо дисперсії, то однозначної відповіді немає, і проблема стає цілком конкретною. Навіть книга Біллінгслі з цього питання не зрозуміла. Питання в тому, як буде виглядати залишок, і що ми можемо про це розповісти.

— Алекос Пападопулос