Як відбілити дані за допомогою аналізу основних компонентів?

Я хочу перетворити свої дані таким чином, що відхилення будуть одна, а коваріації будуть нульовими (тобто я хочу відбілити дані). Крім того, засіб має бути нульовим.$\mathbf X$

Я знаю, що потраплю туди, зробивши Z-стандартизацію та перетворення PCA, але в якому порядку я повинен їх робити?

Додам, що складене відбілююче перетворення повинно мати вигляд .$\mathbf{x} \mapsto W\mathbf{x} + \mathbf{b}$

Чи існує метод, подібний до PCA, який виконує саме ці перетворення і дає мені формулу виду вище?

Спочатку ви отримуєте середній нуль, віднімаючи середнє значення $\boldsymbol \mu = \frac{1}{N}\sum \mathbf{x}$ .

По-друге, ви отримуєте нуль covariances, роблячи PCA. Якщо є ковариационной матрицею даних, то PCA становить виконання eigendecomposition , де є ортогональна матриця обертання, що складається з власних векторів , та - діагональна матриця із власними значеннями по діагоналі. Матриця дає поворот, необхідний для декореляції даних (тобто відображає оригінальні функції до основних компонентів).$\boldsymbol \Sigma$$\boldsymbol \Sigma = \mathbf{U} \boldsymbol \Lambda \mathbf{U}^\top$$\mathbf{U}$$\boldsymbol \Sigma$$\boldsymbol \Lambda$$\mathbf{U}^\top$

По-третє, після обертання кожен компонент матиме дисперсію, задану відповідним власним значенням. Отже, щоб відхилення дорівнювали , потрібно розділити на квадратний корінь .$1$$\boldsymbol \Lambda$

Всі разом перетворення відбілювання - . Ви можете відкрити дужки, щоб отримати потрібну форму.$\mathbf{x} \mapsto \boldsymbol \Lambda^{-1/2} \mathbf{U}^\top (\mathbf{x} - \boldsymbol \mu)$

Оновлення. Дивіться також цю пізню нитку для більш детальної інформації: Чим відрізняється відбілювання від ZCA та відбілювання PCA?