Хтось може уточнити поняття "суми випадкових змінних"

У моєму класі ймовірностей постійно використовуються терміни "сум випадкових величин". Однак я застряг у тому, що саме це означає?

Ми говоримо про суму купу реалізацій від випадкової величини? Якщо так, то чи не додається це до одного числа? Яким чином сума випадкових змінних реалізацій приводить нас до розподілу або cdf / pdf / функції будь-якого виду? І якщо це не випадкові змінні реалізації, то що саме додається?

Фізична, інтуїтивна модель випадкової змінної полягає в тому, щоб записати ім’я кожного члена населення на одному або декількох шматочках паперу - "квитки" - і помістити ці квитки у коробку. Процес ретельного перемішування вмісту коробки з подальшим сліпим витягуванням одного квитка - точно так само, як і в лотереї - моделює випадковість. Неоднакові ймовірності моделюються шляхом введення змінної кількості квитків у поле: більше квитків для більш імовірних членів, менше для менших.

Випадкові змінний являє собою число , пов'язане з кожним членом населення. (Тому для послідовності кожен квиток для даного учасника повинен мати однакове число, написане на ньому.) Кілька випадкових змінних моделюються, резервуючи пробіли в квитках для більш ніж одного номера. Ми зазвичай дають ці простору імен , як і . Сума цих випадкових величин звичайна сума: Ми залишаємо новий простір на кожному квитку на суму, зчитувати значення і т.д. на кожному квитку, і написати їх суму в цьому новому просторі. Це послідовний спосіб запису цифр на квитках, тому це ще одна випадкова змінна.$X,$ $Y,$$Z$$X,$ $Y,$

Ця фігура зображує вікно , що представляє популяцію і три випадкові величини , і . Він містить шість квитків: три для (синього) надають йому ймовірність , два для (жовтого) надають йому ймовірність , а один для (зеленого) дають йому ймовірність . Щоб відобразити те, що написано на квитках, їх показують перед змішуванням.$\Omega=\{\alpha,\beta,\gamma\}$$X$$Y$$X+Y$$\alpha$$3/6$$\beta$$2/6$$\gamma$$1/6$

Краса такого підходу полягає в тому, що всі парадоксальні частини питання виявляються правильними:

• сума випадкових змінних дійсно є єдиним, визначеним числом (для кожного члена сукупності),

• але це також призводить до розподілу (заданого частотами, з якими сума відображається у полі), і

• він все ще ефективно моделює випадковий процес (адже квитки досі сліпо витягуються з коробки).

Таким чином, сума може одночасно мати певне значення (задане правилами додавання відповідно до цифр на кожному з квитків), тоді як реалізація - який буде квиток, витягнутий з поля - не має значення, поки воно здійснюється.

Ця фізична модель витягування квитків з коробки прийнята в теоретичній літературі і є суворою з визначеннями вибіркового простору (сукупності), сигма-алгебр (з пов'язаними з ними імовірностями) та випадковими змінними як вимірюваних функцій, визначених на вибірковому просторі .

Цей рахунок випадкових змінних розробляється з реалістичними прикладами в розділі "Що означає випадкова величина?" .

за цією фразою немає жодного секрету, вона така ж проста, як ви можете подумати: якщо X і Y - дві випадкові величини, їх сума X + Y, і ця сума є випадковою змінною. Якщо X_1, X_2, X_3, ..., X_n і є n випадкових величин, їх сума X_1 + X_2 + X_3 + ... + X_n, і ця сума також є випадковою змінною (і реалізація цієї суми є одиничною число, а саме сума n реалізацій).

Чому ви так багато говорите про суми випадкових змінних у класі? Однією з причин є (дивовижна) центральна гранична теорема: якщо ми підсумовуємо багато незалежних випадкових величин, то ми можемо "передбачити" розподіл цієї суми (майже) незалежно від розподілу окремих змінних у сумі! Сума має тенденцію стати нормальним розподілом, і це ймовірна причина, чому ми так часто спостерігаємо нормальний розподіл в реальному світі.

rv - це співвідношення між виникненням події та реальним числом. Скажіть, якщо йде дощ, значення X дорівнює 1, якщо не дорівнює 0. Можна мати ще один rv Y, рівний 10, коли холодно, і 100, коли жарко. Отже, якщо йде дощ і холодно, то X = 1, Y = 10 і X + Y = 11.

Значення X + Y - 10 (не дощ холодний); 11 (дощ, холод), 100 (не дощ, спекотно) та 110 (дощ, спекотно). Якщо ви порахуєте наші ймовірності подій, ви отримаєте PMF цього нового rv X + Y.

$X,Y$$X+Y$$\Omega_1\times \Omega_2$$X,Y$$\Omega=\{Head,Tail\}$$X(Head)=Y(Head)=1, X(Tail)=Y(Tail)=0$$(X+Y)$$X,Y$$\sigma-$$X,Y$