Формула закритої форми для функції розподілу, включаючи перекос і куртоз?

13

Чи існує така формула? Враховуючи набір даних, для яких середнє значення, дисперсія, косисть і куртоз відомі, або їх можна виміряти, чи існує єдина формула, яка може бути використана для обчислення щільності ймовірності значення, що передбачається, що походить від вищезазначених даних?

— babelproofreader
джерело

Для будь-якого нормального (гауссового) розподілу похилість дорівнює оскільки вона симетрична, а надлишок куртозу також від властивостей нормального розподілу. Для інших розподілів середнього, дисперсії, косості та куртозу недостатньо для визначення розподілу, хоча приклади зазвичай можна знайти.

0

$0$

0

$0$

— Генрі

1

@ Генрі Насправді, у більшості -параметричних сімей розподілів з , перші чотири моменти - які можна відновити із середньої, дисперсії, косості та куртозу - зазвичай достатньо для ідентифікації розподілу.

k

$k$

k \leq 4

$k \le 4$

— whuber

@whuber: Це означає, що я трохи круговий: обмеження розподілу в сім'ї, де є чотири або менше параметрів, знаючи, що чотири статистичні дані розподілу часто визначають параметри. Я згоден. Але одне з моїх пунктів було по суті тим, що необмежені існують різні можливості розподілів із суттєво різною щільністю ймовірності в конкретних точках навіть із тими ж першими чотирма моментами.

— Генрі

1

Я бачу, що ви маєте на увазі, Генрі: під "іншими дистрибутивами" ви мали на увазі в загальному розумінні, тоді як моя відповідь вважала, що це означає в сенсі розподілів, які зазвичай використовуються в статистиці (які рідко мають більше чотирьох параметрів). Я думаю, що ваш кодицил - "хоча приклади зазвичай можна знайти" - можливо, запропонував моє вужче тлумачення.

— whuber

12

Таких формул багато. Перша успішна спроба вирішити саме цю проблему була зроблена Карлом Пірсоном у 1895 р., Врешті-решт привівши до системи розподілу Пірсона . Цю родину можна параметризувати середньою, дисперсією, косою та куртозом. Він включає, як звичні спеціальні випадки, звичайні, звичайні, студент-т, чи-квадратні, зворотні гамма та F-розподіли. Kendall & Stuart Vol 1 наведемо деталі та приклади.

— дзижчати
джерело

7

Це звучить як підхід "відповідність моменту" до підключення розподілу до даних. Це, як правило, вважається не чудовою ідеєю (назва блогу Джона Кука - "статистичний тупик").

— шабчеф
джерело

1

Тест К2 Д'Агостіно покаже, чи отримано розподіл вибірки від нормального розподілу на основі косості та куртозу зразка.

Якщо ви хочете зробити тест, припускаючи ненормальний розподіл (можливо, при високій косості чи куртозі), вам потрібно буде розібратися, що таке розподіл. Ви можете подивитися на нормальний розподіл перекосу та узагальнений нормальний розподіл . Якщо ви це зробите, ви розглядаєте й інші дистрибутиви.

— Томас Левін
джерело