Чи можна використовувати квадрат чи для порівняння пропорцій?

13

Я читав, що тест квадратних чі корисний, щоб дізнатись, чи суттєво відрізняється зразок від набору очікуваних значень.

Наприклад, ось таблиця результатів опитування улюблених кольорів людей (n = 15 + 13 + 10 + 17 = 55 загалом респондентів):

red,blue,green,yellow

15,13,10,17

Тест на квадрат чі може мені сказати, чи цей зразок суттєво відрізняється від нульової гіпотези про рівну ймовірність сподобання людям кожного кольору.

Питання: Чи можна проводити тест на пропорції загальної кількості респондентів, яким подобається певний колір? Як і нижче:

red,blue,green,yellow

0.273,0.236,0.182,0.309

Де, звичайно, 0,273 + 0,236 + 0,182 + 0,309 = 1.

Якщо в цьому випадку тест на квадрат чі не підходить, який би тест був? Спасибі!

Редагувати: Я спробував @Roman Luštrik відповідь нижче, і отримав наступний висновок, чому я не отримую значення p і чому R каже: "Наближення Chi-квадрата може бути невірним"?

> chisq.test(c(0,0,0,8,6,2,0,0),p = c(0.406197174,0.088746395,0.025193306,0.42041479,0.03192905,0.018328576,0.009190708,0))

    Chi-squared test for given probabilities

data:  c(0, 0, 0, 8, 6, 2, 0, 0) 
X-squared = NaN, df = 7, p-value = NA

Warning message:
In chisq.test(c(0, 0, 0, 8, 6, 2, 0, 0), p = c(0.406197174, 0.088746395,  :
  Chi-squared approximation may be incorrect

chi-squared hypothesis-testing proportion

— hpy
джерело

1

У другому випадку ви припускаєте, що ви знаєте загальний розмір вибірки? Чи ні?

— кардинал

@cardinal: так, я знаю загальний розмір вибірки.

— hpy

3

потім просто помножте пропорції на загальний розмір вибірки, щоб перетворитись на таблицю підрахунків, і застосуйте chi-sq. метод, відповідний вашому першому прикладу.

— Аарон

Я підозрюю, що ви запитуєте про тест "добро на придатність" (використовуючи квадрат ква). Використання яких було пояснено нижче. Ура, Тал

— Тал Галілі

7

Виправте мене, якщо я помиляюся, але я думаю, що це можна зробити в R за допомогою цієї команди

> chisq.test(c(15,13,10,17))

    Chi-squared test for given probabilities

data:  c(15, 13, 10, 17) 
X-squared = 1.9455, df = 3, p-value = 0.5838

Це передбачає пропорції 1/4 кожного. Ви можете змінювати очікувані значення за допомогою аргументу p. Наприклад, ви думаєте, що люди можуть віддавати перевагу (з будь-якої причини) одному кольорові іншому.

> chisq.test(c(15,13,10,17), p = c(0.5, 0.3, 0.1, 0.1))

    Chi-squared test for given probabilities

data:  c(15, 13, 10, 17) 
X-squared = 34.1515, df = 3, p-value = 1.841e-07

— Роман Луштрик
джерело

2

Я підозрюю, що ви бачите це через деякий низький вміст клітин (деякі книги, які я прочитав, пропонують мінімум 5 на клітинку). Може, хтось більш обізнаний з цього питання може заграти?

— Роман Луштрик

1

Також зауважте, що ви можете отримати значення ap, якщо ви зробите останній з вашої ймовірності більше нуля (але попередження все ще залишається).

— Роман Луштрик

1

На сторінці 504 Ott & Longnecker (вступ до статистичних методів та аналізу даних, 5-е видання) констатують, що для кожної комірки має бути не менше п'яти, щоб зручно використовувати наближення.

— Роман Луштрик

1

@penyuan: Ви мусили згадати, що у вас є чимало нульових підрахунків. Роман має рацію, використання квадрата Chi в даному випадку просто не працює з причин, про які він згадував.

— Joris Meys

1

@penyuan: я додав відповідь, даючи вам кілька варіантів.

— Joris Meys

6

Використовуючи додаткову інформацію, яку ви надали (маючи на увазі, що деякі значення мають значення 0), цілком очевидно, чому ваше рішення нічого не повертає. Для одного ви маєте ймовірність 0, тож:

в розчині Генрі дорівнює 0 принаймні одному i $e_i$
у розв'язку ймовірностілогічного значення 0 принаймні для одного i $np_i$

$p=0$

Подано:

X <- c(0,0,0,8,6,2,0,0)
p <- c(0.406197174,0.088746395,0.025193306,0.42041479,0.03192905,0.018328576,0.009190708,0)

Ви можете зробити:

> p2 <- p + 1e-6
> chisq.test(X,p2)

        Pearson's Chi-squared test

data:  X and p2 
X-squared = 24, df = 21, p-value = 0.2931

Але це не правильний результат. У будь-якому випадку слід уникати використання тестування квадратних чі в цих прикордонних випадках. Кращим підходом є використання підходу до завантаження, обчислення адаптованої статистики тесту та порівняння типового зразка з розподілом, отриманим завантажувальним рядком.

У R-коді це може бути (крок за кроком):

# The function to calculate the adapted statistic.
# We add 0.5 to the expected value to avoid dividing by 0
Statistic <- function(o,e){
    e <- e+0.5
    sum(((o-e)^2)/e)
}

# Set up the bootstraps, based on the multinomial distribution
n <- 10000
bootstraps <- rmultinom(n,size=sum(X),p=p)

# calculate the expected values
expected <- p*sum(X)

# calculate the statistic for the sample and the bootstrap
ChisqSamp <- Statistic(X,expected)
ChisqDist <- apply(bootstraps,2,Statistic,expected)

# calculate the p-value
p.value <- sum(ChisqSamp < sort(ChisqDist))/n
p.value

Це дає p-значення 0, що набагато більше відповідає різниці між спостережуваним та очікуваним. Зауважте, цей метод передбачає, що ваші дані черпають з багаточленного розподілу. Якщо це припущення не відповідає, значення p також не містить.

— Йоріс Мейс
джерело

1

p_{i} = 0

$p_i = 0$

i

$i$

i

$i$

p_{i} = 0

$p_i = 0$

p_{i} = 1 / 6

$p_i = 1/6$

i \leq 6

$i \leq 6$

1, \dots, 10

$1,\ldots,10$

@cardinal: Я щойно описав дані, де очікуване значення дорівнює 0, але спостережуване не повинно бути. Це нам дала ОП (хоча, по-друге, це дійсно звучить досить нереально). Отже, додавання трохи до значення p, щоб зробити його малоймовірним замість неможливого, допоможе, але навіть тоді чи-квадрат у цьому випадку є недійсним через велику кількість комірок таблиці з числом менше 5 (як показано код). Я додав розгляд у своїй відповіді, thx для вказівника.

— Joris Meys

p_{i} = 0

$p_i = 0$

4

$\frac{1}{E(x_{i})}$

ψ = \sum_{i} x_{i} \log (\frac{x_{i}}{n p_{i}})

$\psi=\sum_{i}x_{i}\log\left(\frac{x_{i}}{np_{i}}\right)$

$x_{i}$ $i$ $i\in \{\text{red, blue, green, yellow}\}$ $n$ $55$ $p_i$ $p_i=p_j$

χ^{2} = \sum_{i} \frac{(x_{i} - n p_{i})^{2}}{n p_{i}} \approx 2 ψ

$\chi^{2}=\sum_{i}\frac{(x_{i}-np_{i})^{2}}{np_{i}}\approx 2\psi$

$f_{i}=\frac{x_{i}}{n}$

ψ = n \sum_{i} f_{i} \log (\frac{f_{i}}{p_{i}})

$\psi=n\sum_{i}f_{i}\log\left(\frac{f_{i}}{p_{i}}\right)$

χ^{2} = n \sum_{i} \frac{(f_{i} - p_{i})^{2}}{p_{i}}

$\chi^{2}=n\sum_{i}\frac{(f_{i}-p_{i})^{2}}{p_{i}}$

$\psi$ $\psi$ $p_{i}$ $\frac{1}{p_{i}}$ $\psi$

$H_{1}$ $H_{2}$ $p_i$ $\psi_{1}$ $\psi_{2}$ $\exp\left(\psi_{1}-\psi_{2}\right)$ $H_{2}$ $H_{1}$ $\exp\left(\frac{1}{2}\chi_{1}^{2}-\frac{1}{2}\chi_{2}^{2}\right)$

$H_{2}$ $\psi_{2}=\chi^{2}_{2}=0$

$\chi_{2}^{2}$ $np_{i}<10$ $\psi$

— ймовірністьіслогічна
джерело

1

Я впевнений, що очікувана частота не може перевищувати 10. :)

— кардинал

@cardinal - радий, що це було вашим запереченням - бо це означає, що решта моєї відповіді повинна була бути хорошою :).

— ймовірністьлогічний

Нічого собі, я сподіваюся, що я не отримую репутації за те, що я такий прискіпливий / бурхливий.

— кардинал

1

ψ

$\psi$

2 ψ

$2 \psi$

χ^{2}

$\chi^2$

χ^{2} - 2 ψ \to 0

$\chi^2 - 2 \psi \to 0$

χ^{2}

$\chi^2$

2 ψ

$2\psi$

χ^{2}

$\chi^2$

— кардинал

χ^{2}

$\chi^2$

2 ψ

$2 \psi$

3

Так, ви можете перевірити нульову гіпотезу: "H0: опора (червона) = опора (синя) = опора (зелена) = опора (жовта) = 1/4", використовуючи квадратний тест чі, який порівнює пропорції опитування (0,273 , ...) до очікуваних пропорцій (1/4, 1/4, 1/4, 1/4)

Тільки для підтвердження, це також буде працювати з очікуваними пропорціями, які нерівні один одному?

— hpy

4

тест не матиме сенсу, якщо ви не знаєте повний розмір вибірки. Пропорції 1,0 / 0,0 / 0,0 / 0,0 означають дуже різні речі, якщо вони є зразком розміром 1 на відміну від зразка розміром 100.

— Аарон

Так, я знаю загальний розмір вибірки.

— hpy

2

Статистика тесту для тесту чи-квадрата Пірсона є

\sum_{i = 1}^{n} \frac{(O_{i} - E_{i})^{2}}{E_{i}}

$\sum_{i=1}^{n} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$

$o_i = \dfrac{O_i}{n}$ $e_i = \dfrac{E_i}{n}$ $n=\sum_{i=1}^{n} O_i$ $\sum_{i=1}^{n} e_i =1$

n \sum_{i = 1}^{n} \frac{(o_{i} - e_{i})^{2}}{e_{i}}

$n \sum_{i=1}^{n} \frac{(o_i - e_i)^2}{e_i}$

тому тест значущості спостережуваних пропорцій залежить від розміру вибірки, наскільки можна було б очікувати.

— Генрі
джерело