Як інтерпретувати параметри в GLM з сім'єю = Gamma

21

У мене є питання щодо інтерпретації параметрів для GLM з розподіленою залежною змінною гамми. Це те, що R повертається для мого GLM за допомогою посилання:

Call:
glm(formula = income ~ height + age + educat + married + sex + language + highschool, 
    family = Gamma(link = log), data = fakesoep)

Deviance Residuals: 
       Min        1Q    Median        3Q       Max  
  -1.47399  -0.31490  -0.05961   0.18374   1.94176  

Coefficients:
              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  6.2202325  0.2182771  28.497  < 2e-16 ***
height       0.0082530  0.0011930   6.918 5.58e-12 ***
age          0.0001786  0.0009345   0.191    0.848    
educat       0.0119425  0.0009816  12.166  < 2e-16 ***
married     -0.0178813  0.0173453  -1.031    0.303    
sex         -0.3179608  0.0216168 -14.709  < 2e-16 ***
language     0.0050755  0.0279452   0.182    0.856    
highschool   0.3466434  0.0167621  20.680  < 2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

(Dispersion parameter for Gamma family taken to be 0.1747557)

Null deviance: 757.46  on 2999  degrees of freedom
Residual deviance: 502.50  on 2992  degrees of freedom
AIC: 49184

Як інтерпретувати параметри? Якщо я обчислюю exp(coef())свою модель, я отримую ~ 500 за перехоплення. Тепер я вважаю, що це не означає очікуваний дохід, якщо всі інші змінні вважаються постійними, чи не так? Оскільки середня величина або mean(age)лежить на рівні 2000. Більше того, я не маю поняття, як інтерпретувати напрямок та значення коефіцієнтів коваріатів.

r generalized-linear-model interpretation gamma-distribution

— gung - Відновити Моніку
джерело

6

500 було б близько до очікуваного доходу, якби всі інші змінні були рівно нульовими (а не просто постійними) --- як і в регресії, насправді.

— Glen_b -Встановіть Моніку

@Glen_b Чому можна було б очікувати доходу, коли експоненція коефіцієнтів є мультиплікативним впливом на дохід, коли є зміна пояснювальної змінної?

— татамі

Обговорюваний випадок - це умовне значення, коли всі пояснювальні змінні дорівнюють 0.

— Glen_b -Встановити Моніку

25

Специфікація гамма-GLM, пов'язана з журналом, ідентична експоненціальній регресії:

E [y | x, z] = \exp (α + β \cdot x + γ \cdot z) = \hat{y}

$E[y \vert x,z] = \exp \left( \alpha + \beta \cdot x +\gamma \cdot z \right)=\hat y$

$E[y \vert x=0,z=0]=\exp(\alpha)$

$y$ $x$ $x$

\frac{\partial E [y | x, z]}{\partial x} = \exp (α + β \cdot x + γ \cdot z) \cdot β = \hat{y} \cdot β

$\frac{\partial E[y \vert x,z]}{\partial x} = \exp \left( \alpha + \beta \cdot x +\gamma \cdot z\right)\cdot \beta=\hat y \cdot \beta$

$x$ $z$ $x$ $z$ $\hat y \cdot \beta$ $x$ $y$

$x$

E [y | z, x = 1] - E [y | z, x = 0] = \exp (α + β + γ \cdot z) - \exp (α + γ \cdot z) = \exp (α + γ \cdot z) \cdot (\exp (β) - 1)

$E[y \vert z,x=1]-E[y \vert z,x=0]=\exp \left( \alpha + \beta +\gamma \cdot z\right) - \exp \left( \alpha +\gamma \cdot z\right)= \exp \left( \alpha +\gamma \cdot z\right) \cdot\left( \exp(\beta)-1 \right)$

$x$

Третій метод - це експоненція коефіцієнтів. Зауважте, що:

\begin{matrix} E [y | z, x + 1] & = \exp (α + β \cdot (x + 1) + γ \cdot z) \\ = \exp (α + β \cdot x + β + γ \cdot z) \\ = \exp (α + β \cdot x + γ \cdot z) \cdot \exp (β) \\ = E [y | z, x] \cdot \exp (β) \end{matrix}

$\begin{array} _E[y \vert z,x+1] &= \exp \left( \alpha + \beta \cdot (x+1) +\gamma \cdot z \right) \\ &=\exp \left( \alpha + \beta \cdot x+\beta +\gamma \cdot z \right)\\ &=\exp \left( \alpha + \beta \cdot x +\gamma \cdot z \right)\cdot \exp(\beta) \\ &= E[y \vert z,x]\cdot \exp(\beta) \end{array}$

$x$

— Мастеров Дмитро Васильович
джерело

1

Чи змогли б ви проілюструвати другу інтерпретацію?

— татамі

@tatami Я виправив помилку у двійковій справі. Чи має тепер більше сенсу?

— Мастеров Димитрій Вікторович

2

Спершу я б подивився на залишки, щоб побачити, наскільки добре підійде модель. Якщо це нормально, я б спробував використовувати інші функції посилань, якщо я не мав підстав вважати, що це дійсно походить від розповсюдження гамми. Якби гамма все ж виглядала переконливо, я б зробив висновок, що статистично значущими термінами є перехоплення, зріст, освіта, стать та середня школа (ті, що позначені трьома зірками). Між собою не можна сказати більше, якщо вони не стандартизовані (мають однаковий діапазон).

Відповідь на коментар: Зараз я краще розумію ваше запитання. Ви абсолютно можете це зробити! Збільшення одиниці висоти спричиняє довідку (0,0082530) -1 ~ = 0,0082530 (використовуючи приблизне значення x = 1 + x для малого х) відносну зміну доходу. Дуже легко інтерпретувати, ні?

— Емре
джерело

1

Тож я не можу насправді інтерпретувати параметри, наприклад, дохід збільшується на xy, якщо висота збільшується на одиницю?

1

Зараз я вважаю, що мені доведеться тлумачити це мультиплікативно: exp (Intercept) * exp (висота) був би доходом із збільшенням на 1 одиницю. Дякую все-таки! :)