Чи існує теорема, яка говорить про те, що перетворюється в розподілі до нормального, оскільки переходить до нескінченності?

Нехай - будь-який розподіл із визначеним середнім значенням та стандартним відхиленням, . Центральна гранична теорема говорить, що переходить в розподілі до звичайного нормального розподілу. Якщо замінити на вибіркове стандартне відхилення , чи існує теорема, що переходить в розподілі до t-розподілу? Оскільки для великих $X$ $\mu$ $\sigma$

\sqrt{н} \frac{\bar{Х} - мк}{σ}

$\sqrt{n}\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma}$

σ

$\sigma$

S

$S$

\sqrt{н} \frac{\bar{Х} - мк}{S}

$\sqrt{n}\frac{\bar{X} - \mu}{S}$

n

$n$ t-розподіл наближається до нормального, теорема, якщо вона існує, може стверджувати, що межа є стандартним нормальним розподілом. Отже, мені здається, що t-розподіли не дуже корисні - що вони корисні лише тоді, коли приблизно є нормальним. Це так?

X

$X$

Якщо це можливо, чи вказуєте ви посилання, що містять доказ цього CLT, коли замінюється на ? Таке посилання може переважно використовувати поняття теорії мір. Але в цьому моменті все було б мені здорово. $\sigma$ $S$

— Есп Фло
джерело

Застосування теореми Слуцького, версії якої іноді називають леммою , що сходяться разом , показує, що межа є стандартною нормою.

— кардинал

Щоб детальніше ознайомитись із коментарем @cardinal, розглянемо iid-зразок розміру від випадкової величини з деяким розподілом та кінцевими моментами, середнім та стандартним відхиленням . Визначте випадкову змінну $n$ $X$ $\mu$ $\sigma$

Z_{н} = \sqrt{н} ({\bar{Х}}_{н} - мк)

$Z_n = \sqrt {n}\left(\bar X_n -\mu\right)$ Основна теорема про центральну межу говорить, що

Z_{н} \to_{г} Z \sim N (0, σ^{2})

$Z_n \rightarrow_{d} Z \sim N(0,\sigma^2)$

Розглянемо тепер випадкову величину , де є вибіркове стандартне відхилення . $Y_n = \frac 1{S_n}$ $S_n$ $X$

Вибірка є ідентичною, тому вибіркові моменти оцінюють послідовно моменти сукупності. Тому

Y_{н} \to_{p} \frac{1}{σ}

$Y_n \rightarrow_{p} \frac 1{\sigma}$

Введіть @cardinal: Теорема Слуцького (або лема) говорить, між іншим, що де - константа . Це в нашому випадку так

{Z_{н} \to_{г} Z, Y_{н} \to_{p} c} \Rightarrow Z_{н} Y_{н} \to_{г} c Z

$\{Z_n \rightarrow_{d} Z, Y_n\rightarrow_{p} c\} \Rightarrow Z_nY_n\rightarrow_{d} cZ$

c

$c$

Z_{н} Y_{н} = \sqrt{н} \frac{\bar{Х_{н}} - мк}{S_{н}} \to_{г} \frac{1}{σ} Z \sim N (0, 1)

$Z_nY_n = \sqrt{n}\frac{\bar{X_n} - \mu}{S_n}\rightarrow_{d} \frac 1{\sigma}Z \sim N(0,1)$

Що стосується корисності розподілу Стьюдента, я лише зазначу, що в його «традиційному застосуванні», пов'язаному зі статистичними тестами, він все ще незамінний, коли розміри вибірки дійсно невеликі (і ми все ще стикаємося з такими випадками), але також, що він має широко застосовується до модельних авторегресивних серій із (умовною) гетерокедастичністю, особливо в контексті Finance Econometrics, де такі дані виникають часто.

— Алекос Пападопулос
джерело

+1, завжди приємно бачити, коли відповіді на теоретичні питання пов'язані з їх корисністю на практиці

— Енді

@Анді погоджуюся, це ідеал.

— Алекос Пападопулос