Імовірний розподіл функцій випадкових величин?

У мене виникають сумніви: розглянемо реальні значущі випадкові величини і визначені на просторі ймовірностей . $X$ $Z$ $(\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P})$

Нехай , де - реально оцінена функція. Оскільки - функція випадкових змінних, це випадкова величина. $Y:= g(X,Z)$ $g(\cdot)$ $Y$

Нехай , тобто реалізацію . $x:=X(\omega)$ $X$

Чи дорівнює ? $\mathbb{P}(Y|X=x)=\mathbb{P}(g(X,Z)|X=x)$ $\mathbb{P}(g(x,Z))$

probability random-variable

— користувач3285148
джерело

Оскільки ваше позначення є досить скороченим, можливо, варто зазначити, що воно неявно посилається на якийсь борелівський набір , який підлягає універсальному кількісній оцінці, і що більш повне відображення вашого запитання, таким чином, чи буде так, що

A

$A$

\forall_{A} P (Y \in A | X = x) = P (g (X, Z) \in A | X = x) = P (g (x, Z) \in A) .

$\forall_A\ \mathbb{P}(Y\in A|X=x)=\mathbb{P}(g(X,Z)\in A|X=x)=\mathbb{P}(g(x,Z)\in A).$

— whuber

@whuber: остання рівність діє лише в тому випадку, якщо і незалежні.

X

$X$

Z

$Z$

— Дзен

Гаразд, ви просто розглядаєте "чи це так ...".

— Дзен

Якщо вимірюється, то виконується для -aa . Зокрема, якщо не залежить від , то виконується для -aa . $g$

P (g (X, Z) \in A ∣ X = x) = P (g (x, Z) \in A ∣ X = x), A \in B (R)

$P(g(X,Z)\in A\mid X=x)=P(g(x,Z)\in A\mid X=x),\quad A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$

P_{X}

$P_X$

x

$x$

Z

$Z$

X

$X$

P (g (X, Z) \in A ∣ X = x) = P (g (x, Z) \in A), A \in B (R)

$P(g(X,Z)\in A\mid X=x)=P(g(x,Z)\in A),\quad A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$

P_{X}

$P_X$

x

$x$

Це спирається на такий загальний результат:

Якщо і - випадкові величини, а позначає регулярну умовну ймовірність задану , тобто , тоді $U,T$ $S$ $P_S(\cdot \mid T=t)$ $S$ $T=t$ $P_S(A \mid T=t)=P(S\in A\mid T=t)$
$\begin{matrix} (*) & E [U ∣ T = t] = \int_{R} E [U ∣ T = t, S = s] P_{S} (d s ∣ T = t) . \end{matrix}$ ${\rm E}[U\mid T=t]=\int_\mathbb{R} {\rm E}[U\mid T=t,S=s]\,P_S(\mathrm ds\mid T=t).\tag{*}$

Доведення : Визначення регулярної умовної ймовірності гарантує, що для вимірюваного та інтегрованого . Нехай тепер для деякого безлічі борелівської безлічі . Тоді with Оскільки

E [ψ (S, T)] = \int_{R} \int_{R} ψ (s, t) P_{S} (d s ∣ T = t) P_{T} (d t)

${\rm E}[\psi(S,T)]=\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R} \psi(s,t)\,P_S(\mathrm ds\mid T=t)P_T(\mathrm dt)$

ψ

$\psi$

ψ (s, t) = 1_{B} (t) E [U ∣ S = s, T = t]

$\psi(s,t)=\mathbf{1}_B(t){\rm E}[U\mid S=s,T=t]$

B

$B$

\begin{aligned} \int_{Т^{- 1} (Б)} U г П & = Е [1_{Б} (Т) U] = Е [1_{Б} (Т) Е [U ∣ S, Т]] = Е [ψ (S, Т)] \\ = \int_{R} \int_{R} ψ (с, т) П_{S} (г с ∣ Т = т) П_{Т} (г т) \\ = \int_{Б} φ (т) П_{Т} (г т) \end{aligned}

$\begin{align} \int_{T^{-1}(B)} U\,\mathrm dP&={\rm E}[\mathbf{1}_B(T)U]={\rm E}[\mathbf{1}_B(T){\rm E}[U\mid S,T]]={\rm E}[\psi(S,T)]\\ &=\int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}}\psi(s,t)\, P_S(\mathrm ds\mid T=t)P_T(\mathrm dt)\\ &=\int_B\varphi(t)P_T(\mathrm dt) \end{align}$

φ (т) = \int_{R} Е [U ∣ Т = т, S = с] П_{S} (г с ∣ Т = т) .

$\varphi(t)=\int_\mathbb{R}{\rm E}[U\mid T=t,S=s]\,P_S(\mathrm ds\mid T=t).$

B

$B$ було довільним, робимо висновок, що .

φ (t) = E [U ∣ T = t]

$\varphi(t)={\rm E}[U\mid T=t]$

Тепер нехай і використовує з , де і , . Тоді зазначимо, що за визначенням умовного очікування і, отже, з маємо $A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ $(*)$ $U=\psi(X,Z)$ $\psi(x,z)=\mathbf{1}_{g^{-1}(A)}(x,z)$ $S=Z$ $T=X$

Е [U ∣ Х = х, Z = z] = Е [ψ (Х, Y) ∣ Х = х, Z = z] = ψ (х, z)

${\rm E}[U\mid X=x,Z=z]={\rm E}[\psi(X,Y)\mid X=x,Z=z]=\psi(x,z)$

(*)

$(*)$

\begin{aligned} П (г (Х, Z) \in А ∣ Х = х) & = Е [U ∣ Х = х] = \int_{R} ψ (х, z) П_{Z} (г z ∣ Х = х) \\ = П (г (х, Z) \in А ∣ Х = х) . \end{aligned}

$\begin{align} P(g(X,Z)\in A\mid X=x)&={\rm E}[U\mid X=x]=\int_\mathbb{R} \psi(x,z)\,P_Z(\mathrm dz\mid X=x)\\ &=P(g(x,Z)\in A\mid X=x). \end{align}$

— Стефан Хансен
джерело