MLE параметра розташування в розподілі Коші

Після центрування два вимірювання x і −x можна вважати незалежними спостереженнями з розподілу Коші з функцією щільності ймовірності:

$f(x :\theta) =$ ,-∞<x<$1\over\pi (1+(x-\theta)^2)$ $, -∞ < x < ∞$

Покажіть, що якщо MLE θ дорівнює 0, але якщо x 2 > 1 є два MLE θ , рівних ± $x^2≤ 1$$\theta$$x^2>1$$\theta$$\sqrt {x^2-1}$

Я думаю, щоб знайти MLE, який я маю диференціювати ймовірність журналу:

=∑2(xi-θ$dl\over d\theta$ $=\sum$ =2(-x-θ$2(x_i-\theta)\over 1+(x_i-\theta)^2$ $=$ 2(x-θ$2(-x-\theta)\over 1+(-x-\theta)^2$ + =$2(x-\theta)\over 1+(x-\theta)^2$ $=0$

Так,

=2(x+θ$2(x-\theta)\over 1+(x-\theta)^2$ $=$ $2(x+\theta)\over 1+(x-\theta)^2$

до чого я потім спростив

$5x^2 = 3\theta^2+2\theta x+3$

Тепер я вдарився об стіну. Я, певно, помилився в якийсь момент, але в будь-якому випадку я не впевнений, як відповісти на питання. Хтось може допомогти?

У ваших розрахунках є математичний друк. Умова першого замовлення для максимуму:

$$\begin{align} \frac {\partial L}{\partial \theta}= 0 &\Rightarrow \frac {2(x+\theta)}{ 1+(x+\theta)^2} - \frac{2(x-\theta)}{ 1+(x-\theta)^2}&=0 \\[5pt] &\Rightarrow (x+\theta)+(x+\theta)(x-\theta)^2 - (x-\theta)-(x-\theta)(x+\theta)^2&=0 \\[3pt] &\Rightarrow 2\theta +(x+\theta)(x-\theta)\left[x-\theta-(x+\theta\right]&=0 \\[3pt] &\Rightarrow2\theta -2\theta(x+\theta)(x-\theta) =0\Rightarrow 2\theta -2\theta(x^2-\theta^2)&=0 \\[3pt] &\Rightarrow2\theta(1-x^2+\theta^2)=0 \Rightarrow 2\theta\big(\theta^2+(1-x^2)\big)&=0 \end{align}$$

$x^2\leq 1$$\hat \theta =0$

$x^2 >1$$2\theta\big[\theta^2-(x^2-1)\big]=0$$\theta =0$

$$\frac {\partial L}{\partial \theta}= 0,\;\; \text{for}\;\;\hat \theta = \pm\sqrt {x^2-1}$$

$\hat \theta =0$

ДОБАВЛЕННЯ

$x =\pm 0.5$

$x =\pm 1.5$

Тепер все, що вам потрібно зробити, - це довести це алгебраїчно, а потім замислитися: "добре -знаю, кого з двох я повинен вибрати?"