Інтуїтивне пояснення стаціонарності

Я деякий час боровся зі стаціонарністю в голові ... Це, як ви про це думаєте? Будь-які коментарі чи подальші думки будуть вдячні.

Стаціонарний процес - це той, який генерує значення часових рядів, так що середнє значення розподілу та дисперсія зберігаються постійними. Строго кажучи, це відомо як слабка форма стаціонарності або коваріація / середня стаціонарність.

Слабка форма стаціонарності - це коли часовий ряд має постійну середню величину та дисперсію протягом усього часу.

Простіше кажучи, практикуючі кажуть, що стаціонарний часовий ряд є тим, що не має тенденції - коливається навколо постійної середньої величини і має постійну дисперсію.

Коваріація між різними лагами є постійною, вона не залежить від абсолютного розташування у часових рядах. Наприклад, коваріація між t і t-1 (відставання першого порядку) завжди повинна бути однаковою (для періоду 1960-1970 років такою ж, як і для періоду 1965-1975 років або будь-якого іншого періоду).

У нестаціонарних процесах немає довгострокового середнього значення, до якого повертається серія; тому ми говоримо, що нестаціонарний часовий ряд не означає повернення. У такому випадку дисперсія залежить від абсолютного положення у часових рядах, а дисперсія переходить у нескінченність у міру проходження часу. Технічно кажучи, автокореляції не затухають з часом, але в невеликих зразках вони зникають - хоча й повільно.

У стаціонарних процесах шоки носять тимчасовий характер і розсіюються (втрачають енергію) з часом. Через деякий час вони не вносять вклад у нові значення часових рядів. Наприклад, те, що трапилося в минулому часі (досить довго), наприклад, Друга світова війна, вплинуло, але, тимчасовий ряд сьогодні такий же, як якщо б Друга світова війна ніколи не відбулася, ми би сказали, що шок втратив енергію або розсіюється. Стаціонарність особливо важлива, оскільки багато класичних економетричних теорій виводяться під припущеннями про стаціонарність.

Сильною формою стаціонарності є те, коли розподіл часових рядів є абсолютно однаковим за проміжок часу. Іншими словами, розподіл оригінальних часових рядів точно такий же, як відстані часові ряди (за будь-якою кількістю затримок) або навіть підсегменти часового ряду. Наприклад, сильна форма також говорить про те, що розподіл має бути однаковим навіть для підсегментів 1950-1960, 1960-1970 або навіть періодів, що перетинаються, таких як 1950-1960 та 1950-1980. Ця форма стаціонарності називається сильною, оскільки вона не передбачає ніякого розповсюдження. Це говорить лише про те, що розподіл ймовірностей має бути однаковим. У випадку слабкої стаціонарності ми визначили розподіл за його середньою та дисперсією. Ми могли б зробити це спрощення, оскільки неявно ми припускали нормальний розподіл, і нормальний розподіл повністю визначається середнім значенням та дисперсією або стандартним відхиленням. Це не що інше, як твердження, що міра ймовірності послідовності (у часових рядах) така сама, як і для відсталої / зміщеної послідовності значень у межах одного часового ряду.

Перш за все, важливо зазначити, що стаціонарність - це властивість процесу, а не часового ряду. Ви розглядаєте ансамбль усіх часових рядів, породжених процесом. Якщо статистичні властивості¹ цього ансамблю (середнє значення, дисперсія…) постійні з часом, процес називається стаціонарним. Строго кажучи, неможливо сказати, чи був породжений даний часовий ряд стаціонарним процесом (однак, з певних припущень, можна гадати).

Більш інтуїтивно зрозуміло, що стаціонарність означає, що у вашому процесі немає чітких моментів (що впливає на статистичні властивості вашого спостереження). Чи стосується це даного процесу, вирішальне значення залежить від того, що ви вважаєте фіксованим або змінним для вашого процесу, тобто того, що міститься у вашому ансамблі.

Типовою причиною нестаціонарності є параметри, що залежать від часу, - які дозволяють розрізнити часові точки за значеннями параметрів. Ще однією причиною є виправлені початкові умови.

Розглянемо наступні приклади:

• Шум, що надходить до мого будинку від однієї машини, що проходить в даний момент часу , не є стаціонарним процесом. Наприклад, середня амплітуда² найвища, коли машина знаходиться поруч з моїм будинком.

• Шум, що надходить до мого будинку від вуличного руху в цілому, є стаціонарним процесом, якщо ігнорувати залежність часу від інтенсивності руху (наприклад, менше руху в нічний час або у вихідні дні). У часі вже немає відмінних моментів. Хоча можуть бути сильні коливання окремих часових рядів, вони зникають, коли я розглядаю сукупність усіх реалізацій процесу.

• Якщо я включимо відомі впливи на інтенсивність руху, наприклад, що вночі менше трафіку, процес знову нестаціонарний: середня амплітуда² змінюється в залежності від денного ритму. Кожен момент часу відрізняється часом доби.

• Положення однієї перцевої кукурудзи в горщику з окропом - це нерухомий процес (ігнорування втрати води внаслідок випаровування). У часі немає відмінних моментів.

• $t=0$$t=0$$t=ε$$ε$

  $t>T$$T$

^{¹ Для практичних цілей це іноді зводиться до середнього рівня та дисперсії (слабкої стаціонарності), але я не вважаю це корисним для розуміння концепції. Просто ігноруйте слабку стаціонарність, поки не зрозумієте стаціонарність.
² Яке середнє значення гучності, але стандартне відхилення фактичного звукового сигналу (тут не надто переживайте про це).}

Для наочності я додам, що будь-який часовий ряд, де точки даних зазвичай розподіляються по часу з постійною середньою величиною і дисперсією, вважається сильним стаціонарним часовим рядом, оскільки з урахуванням середнього та стандартного відхилень нормальний розподіл завжди матиме однакову криву розподілу ймовірності ( входи до нормального рівняння залежать лише від середнього та стандартного відхилень).

Це не у випадку з t-розподілом, наприклад, коли вхід до рівняння розподілу t є гаммою, яка впливає на форму кривої розподілу, незважаючи на постійне середнє та постійне стандартне відхилення.