Я збираюсь навчити невелику групу людей щодо систем нумерації в обчисленні, і мені було цікаво, скільки біт на цифру є, наприклад, у десятковій системі:

• Шестнадцятковий (основа 16) - 4 біти
• Октал (основа 8) - 3 біти
• Двійковий (основа 2) - 1 біт
• Десяткові (основа 10) -?

Що ви шукаєте, це 2-логарифм 10, що є ірраціональним числом близько 3,32192809489 ....

Те, що ви не можете використовувати ціле число біт для десяткової цифри, є першопричиною того, чому багато дробів, які легко виразити в десятковій системі (наприклад, 1/5 або 0,2), неможливо (не важко: дійсно неможливо) виразити у двійковій формі. Це важливо при оцінці помилок округлення в арифметиці з плаваючою комою.

Іншими словами, яка кількість інформації міститься в одній цифрі в цих системах.

Для бази 2, бази 4, бази 8, бази 16 та інших 2 ^N підстав відповідь очевидна, оскільки в базі 2 ^N кожна цифра може бути виражена рівно N цифрами.

Як ви отримуєте N, заданий 2 ^N ? Що ж, ви використовуєте логарифм на основі 2, який є зворотною експоненцією.

• log ₂ 2 = 1 (1 біт на цифру в базі 2)
• log ₂ 4 = 2 (2 біти на цифру в базі 4)
• log ₂ 8 = 3 (3 біти на цифру в базі 8)
• log ₂ 16 = 4 (4 біти на цифру в базовій частині 16)

Логарифми чисел на основі K, що не є потужністю K, не є кардинальними числами. Зокрема:

• журнал ₂ 10 = 3.321928094887362347870319429489390175864831393024580612054…

Це число може виглядати заплутано, але воно насправді має певне використання. Наприклад, це ентропія однієї десяткової цифри.

Для вашого випадку, однак, я не думаю, що це значення не приносить користі. @ Відповідь Крістіана добре допомагає пояснити, чому.

Щодо бітів:

Пробачте, можу сказати, що це питання неправильно. Ви не використовуєте біти таким чином. Трохи - це двійкова цифра . Ви можете перетворити десяткове число 10 у двійкове 1010 (8 + 2), тому вам знадобиться 4 біти, щоб виразити десяткове значення 10.

Повноваження 2

Ви потрапили в трохи пастки, використовуючи в якості прикладів двійкові (2), восьмеричні (8) та шістнадцяткові (16), тому що це всі сили 2, і таким чином ви можете думати про них з точки зору бітів, тоді як 10 не є силою 2, тому просто не дуже добре.

BCD - Бінарний кодований десятковий знак використовує 4 біти на цифру, те саме, що і шістнадцятковий.

https://en.wikipedia.org/wiki/Binary-coded_decimal

Використання бітів передбачає потужність 2, таким чином, як говорили інші, ви не можете легко підкорити 10 біт у байтах без марно. Поширене рішення - використовувати 4 біти на шістнадцятковий і витрачати 6 станів, представлених як AF. Цікавий біт - це робити десяткову математику - це не акуратно і просто.

Корисною ідеєю навчання може бути порівняння того, як Мікі Маус, можливо, розробив систему підрахунку, оскільки у нього лише 4 пальці на руку - це, природно, веде до системи, що базується на восьмериці.

Це може бути надмірним спрощенням, але це залежить від того, яке питання ви задаєте.
(а відповідь - в основному восьмерична або шістнадцяткова)

Я також не розглядаю дробові біти як біти, тому що в бітах практичного використання фракції відсутні.

Q1: Скільки бітів ви можете представити у десятковій цифрі ?

A1: Ви можете представити 3 біти інформації в одній десятковій цифрі:

Найпоширенішою схемою буде пряма двійкова з обгортанням, де 0 = 8 = 000 і 1 = 9 = 001. Але ви можете використовувати будь-яку схему, і нічого не говорить про те, що це єдиний спосіб кодування бітів у десяткових цифрах.

• 0: 000
• 1: 001
• 2: 010
• 3: 011
• 4: 100
• 5: 101
• 6: 110
• 7: 111
• 8: 000 <- обгортання (або невикористане)
• 9: 001 <- обгортання (або невикористане)

або

Q2: Скільки бітів потрібно, щоб представити десяткову цифру?

A2: Вам потрібно принаймні 4 біти, щоб представити всі десяткові цифри. З деякими відходами або загортанням.

Знову ж таки, найпоширенішою схемою буде пряма двійкова з обгорткою, але ви можете використовувати будь-яку іншу схему.

• 0: 0000
• 1: 0001
• 2: 0010
• 3: 0011
• 4: 0100
• 5: 0101
• 6: 0110
• 7: 0111
• 8: 1000
• 9: 1001
• 0: 1010 <- обгортання (або невикористане)
• 1: 1011 <- обгортання (або невикористане)
• 2: 1100 <- обгортання (або невикористане)
• 3: 1101 <- обгортання (або невикористане)
• 4: 1110 <- обгортання (або невикористане)
• 5: 1111 <- обгортання (або невикористане)

У базі 1024 кожен символ становить 10 біт. Три десяткових цифри мають стільки ж інформації, як одна цифра в базовій частині 1000, що трохи менше 1024. Тому десятковий розряд має трохи менше 10/3 біт. Це наближення дає 3.333333 ..., а точне число - 3.321928 ...

• Шестнадцятковий (основа 16) - 4 біти
• Октал (основа 8) - 3 біти
• Двійковий (основа 2) - 1 біт
• Десяткова (основа 10) - 3 1/3 біт.
  2 ¹⁰ = 1,024
  10 ³ = 1000
  2 ²⁰ = 1,048,576
  10 ⁶ = 1 000 000
  3 цифри в базі 10 до 999 можуть міститися в 10 бітах в базі 2.
  6 цифр в базі 10 до 999,999 можна тримати в 20 бітах в базі 2.
  Це ідея виникнення кілобайт, мегабайт і гігабайт.
  

Відмова - я не теоретик інформації, а лише мавпа з кодом, яка працює в основному на C і C ++ (і, таким чином, з типами фіксованої ширини), і моя відповідь буде з цієї конкретної точки зору.

В середньому 3,2 біта представляють одну десяткову цифру - від 0 до 7 можуть бути представлені в 3 біти, тоді як 8 і 9 вимагають 4. (8*3 + 2*4)/10 == 3.2¹ .

Це менш корисно, ніж це звучить. З одного боку, у вас, очевидно, немає дрібних дробів. Для іншого, якщо ви використовуєте нативні цілі типи (тобто не BCD або BigInt), ви не зберігаєте значення як послідовність десяткових цифр (або їх двійкові еквіваленти). 8-бітний тип може зберігати деякі значення, що містять до 3-х десяткових цифр, але ви не можете представити всі тризначні цифри у 8 бітах - діапазон є [0..255]. Ви не можете представляти значення [256..999]лише у 8 біт.

Коли ми говоримо про значення , ми використовуватимемо десяткові, якщо програма очікує цього (наприклад, додаток для цифрового банкінгу). Коли ми говоримо про біти , ми зазвичай використовуємо шістнадцятковий або двійковий (я майже ніколи не використовую восьмеричний, оскільки я працюю в системах, які використовують 8-бітні байти та 32-бітні слова, які не поділяються на 3).

Значення, виражені в десяткових знаках, не відображають чітко бінарні послідовності. Візьміть десяткове значення 255. Двійкові еквіваленти кожної цифри будуть 010, 101, 101. І все ж бінарне подання значення 255є 11111111. Просто немає відповідності жодної з десяткових цифр у значенні двійковій послідовності. Але існує пряма відповідність з шістнадцятковими цифрами - F == 1111так що це значення може бути представлене як FFу шістнадцятковій.

Якщо ви працюєте в системі, де 9-бітові байти і 36-бітні слова є нормою, то восьмерика має більше сенсу, оскільки біти групуються природним чином у трійки.

Якби я вчив цьому, я б спочатку пояснив, що означає число (виражене у вигляді серії цифр). тобто справа наліво, припускаючи основу n, a * n ^ 0 + b * n ^ 1 + c * n ^ 2 ... z * n ^ y.

Потім поясніть, що 10 ^ 3 приблизно дорівнює 2 ^ 10. Це не точно і є причиною в комп’ютерах, ми часто не знаємо, що дійсно означає 2k (це 2 000 або 2,048?), Він служить досить добре для швидких наближень. 2 ^ 16 - це приблизно 2 ^ (16 - 10) * 1000, або 2 ^ 6 (64) * 1000 або 64 000. Насправді це 65 536, але якщо ви не заперечуєте, щоб не було близько відсотка, це працює досить добре для швидких наближень.