Cron працює в середовищі, яке нічого не знає про диспетчер дисплеїв ( $DISPLAY
не встановлено). У вашому вікні терміналу, в якому ви тестувались, встановлено цей набір. Якщо ви спробували його в "справжньому" терміналі або через SSH, ви побачите, що він зламається.
Якщо у вас працює лише один X-сервер, просто вказати дисплей може:
* * * * * DISPLAY=:0 firefox ...
Можливо, ви могли б докласти більше зусиль для розробки того, під яким дисплеєм він сидить, а не припускати, що це, :0
але це, ймовірно, спрацює більшу частину часу.
Якщо вам просто потрібно перезавантажити щось багато, подивіться на вкладку Автозавантаження або подібні додатки Firefox.