Як ви обчислюєте вплив прецесії на еліптичні орбіти?

Перший закон Кеплера стверджує, що планети (і всі небесні тіла, що обертаються навколо іншого тіла) рухаються по еліптичних орбітах, які мають добре відомі формули, що дозволяють порівняно легко обчислити орбітальні елементи та пов'язану з ними поведінку. Однак триваюча прецесія означає, що орбіта постійно змінюється - і тому планета насправді не подорожує в еліпсі, на якому спочатку викладена! Ви можете обчислити прецесію та пов'язані з нею наслідки ( це питання та відповідь корисні), але чи є спосіб розрахувати, як еліптична орбіта буде «деформована» прецесією?

Гарною відправною точкою буде <вставте ім'я давнього даного вченого> планетарні рівняння руху. Наприклад, є планетарні рівняння Лагранжа (іноді їх називають планетарними рівняннями Лагранжа-Лапласа), планетарні рівняння Гаусса, планетарні рівняння Делоне, планетарні рівняння Хілла та кілька інших. Загальна тема серед цих різних планетарних рівнянь полягає в тому, що вони дають часові похідні різних елементів орбіти як функцію часткових похідних збурювальної сили / збурення потенціалу щодо деякого узагальненого положення.

Взагалі єдині слова, які спочатку можуть описати результат цього процесу, - це «гарячий безлад». Гарячий безлад не стримував цих геніальних розумів старих. Через різні спрощення припущень і довгострокове усереднення часу вони вийшли з досить простими описами, наприклад, (апсидальна прецесія) та (плоска прецесія). Дещо з цього ви можете побачити в цитованій роботі Гілла за 1900 рік.$\left \langle \frac{d\omega}{dt} \right\rangle$$\left \langle \frac{d\Omega}{dt} \right\rangle$

Хоча ці методи старі, ці планетарні рівняння застосовуються і сьогодні. Те, що іноді у вас виникає «гарячий безлад», це нормально зараз, коли у нас є комп’ютери. Люди використовують планетарні рівняння в поєднанні з геометричними методами інтеграції, щоб отримати швидкі, точні, стабільні інтегратори, які зберігають імпульс і енергію кута протягом тривалих проміжків часу. (Зазвичай у вас не може бути всього цього. Вам пощастило, якщо ви отримаєте всього два-три.) Ще однією приємною особливістю цих планетарних рівнянь є те, що вони дозволяють бачити такі функції, як резонанси, які інакше затьмарюються справді " гарячий безлад »декартових рівнянь руху.

Вибраний довідковий матеріал, відсортований за датою:

Хілл (1900), "Про поширення методу Делоне в місячній теорії до загальної проблеми руху планети", Угоди Американського математичного товариства , 1.2: 205-242.

Вальядо (1997 р. І пізніше), "Основи астродинаміки та застосування", різні видавці. Окрім отвору, який він пробиває через ваш гаманець, ви не можете помилитися з цією книгою.

Єфроїмський (2002), "Рівняння для кеплерових елементів: прихована симетрія", Інститут математики та його застосування

Ефроймський і Голдрайх (2003), "Калібрована симетрія проблеми N-тіла в підході Гамільтона-Якобі". Журнал математичної фізики , 44.12: 5958-5977.

Wyatt (2006-2009), аспірантура з планетних систем, Інститут астрономії, Кембридж.
Результати планетарних рівнянь Лагранжа представлені на слайді 6.

Ketchum та ін. (2013), "Середні резонансні рухи в системах екзопланет: дослідження поведінки кивання". Астрофізичний журнал 762.2.

Єдина по-справжньому конфокальна еліптична орбіта - це пов'язана частинка випробування в центральному потенціалі або, що еквівалентно, - дві точкоподібні (зі сферично симетричними внутрішніми масовими розподілами) маси, що притягують один одного з ньютонівською гравітацією (і мають негативну загальна енергія, тобто пов'язана один з одним).$-k/r$

Все інше нееліптичне (незв'язані орбіти параболічні або гіперболічні), але більшість відхилень невеликі. Невеликі відхилення можуть виникати в ряді джерел, включаючи квадрупольні умови масового розподілу тіл (зокрема, Сонце), негравітаційні сили (тиск випромінювання та тягнення газу на пилові зерна), неньютонові ефекти (GR), збурення від інших об'єктів (усіх інших планет). Сам Ньютон добре знав цей останній ефект.

Якщо відхилення невеликі, то традиційним способом їх оцінки є теорія збурень , де інтегрується збурювальна сила вздовж неврівноваженої (еліптичної) орбіти. Наприклад, щоб отримати прецесію періапсу, можна інтегрувати зміни до вектора ексцентриситету. Обертання цього вектора відповідає прецесії періапсії. Дивіться мою відповідь на це питання , як приклад саме цього.

Девід Хаммен написав

Люди використовують планетарні рівняння в поєднанні з методами геометричної інтеграції ...

Ви також можете спробувати (як я називаю) просте моделювання з кінцевим кроком, використовуючи закони Ньютона, щоб діяти на об'єктні маси, положення, швидкості та прискорення. Я не впевнений, чи відноситься це до того, що Девід називає "геометричними методами інтеграції". Моя думка, що ви можете це зробити, не включаючи планетарні рівняння. Недолік = тренажер "скорочує кути" за допомогою наближень, і це призводить до поведінки в моделі, яка є артефактами. Ці недоліки можна подолати за допомогою інших методик. Перевага = полегшує конструкцію коду, дозволяє уникнути підозр, що планетарні рівняння (та їхні припущення) керують шоу.

Вам не потрібно бути знавцем чисельних методів, щоб використовувати просту техніку інтеграції Leapfrog (детально описану в Лекціях Фейнмана том I ) для моделювання прецесії Ньютона на орбітах Сонячної системи протягом періодів до кількох століть. Запускаючи моделювання на різних етапах часу (наприклад, ), графік результатів в Excel, встановлення кривої та екстраполяція на$dt=1200s, 600s, 300s, 100s$$dt=0$Ви можете отримати результати для довгострокової середньої прецесії Ньютона, яка становить 1% від прийнятих показників. Ще одна перевага порівняно з аналітичними методами, які дають середньострокові результати в довгостроковій перспективі, полягає в тому, що ви можете вивчати поведінку за коротшими масштабами часу. Наприклад, якщо ви накреслите напрямок перихеліону та час для певної планети (наприклад, Меркурій), ви можете побачити періодичні коливання швидкості прецесії року внаслідок руху Юпітера навколо Сонця. Також дуже весело (і дуже просто, коли ви написали основний код) грати "що робити?" моделювання, змінюючи кількість та властивості тіл у системі та навіть додаючи додаткові неньютонові сили. $\approx 11.9$

Щоб цитувати Феймана: -

Можливо, за один цикл обчислення, залежно від проблеми, ми можемо мати 30 множень чи щось подібне, тож один цикл займе 300 мікросекунд. Це означає, що ми можемо робити 3000 циклів обчислень за секунду. Щоб отримати точність, скажімо, однієї частини в мільярд, нам знадобиться 4 × 10 ^ 5 циклів, щоб відповідати одному оберту планети навколо Сонця. Це відповідає часу обчислення 130 секунд або близько двох хвилин. Таким чином, потрібно пройти лише дві хвилини, щоб прослідкувати за Юпітером навколо Сонця, при цьому всі збурення всіх планет виправдаються однією частиною на мільярд!

Але вам потрібно добре подумати над тим, що ви можете надійно зробити з симуляцій - наприклад, якщо ваш часовий крок довший, ніж на кілька сотень секунд, моделювання вкаже на прецесію у напрямку, протилежному тому, що відбувається насправді (тобто ретроградно, коли воно відбувається) має бути проград).