Скільки таких посад є? (головоломка з шахів / математики

Мене цікавить така позиція:

На дошці всього 4 штуки. Якщо Білі йдуть першими, вони можуть перевірити мат одним рухом. Якщо Чорні йдуть першими, вони можуть перевірити мат одним рухом. Наприклад:

Питання: скільки таких посад?

Я знаходжу 3 основні позиції:

Кожен з них дає нам ще 6 позицій. Ми можемо перемістити стартову позицію чорної королеви на 6 інших 6 квадратів. Отже, у нас 21 основна посада.

Чи є інші основні посади?

Для кожної базової позиції ми можемо:

1) перемикання кольору x2

2) обертати дошку x4

3) дзеркальне положення х2

Отже, одна основна позиція генерує 2x4x2 = 16 позицій. І остаточна відповідь: Є 16х21 = 336 таких позицій.

Чи це правильно?

Ваша друга основна позиція передбачає ще 4 варіанти, ніж ті, які ви вже подали, позначені наступною схемою:

Це приводить підрахунок для "базових позицій" до 25. Незалежно від того, чи додає це список, вичерпний чи ні, я не повністю впевнений (хоча я думаю, що це є).

У будь-якому випадку, незалежно від кількості базових позицій, ваша екстраполяція загальної кількості позицій звідти (x2 для перемикача кольорів та x8 для перетворень дошки) є правильною, оскільки група симетрії шахової дошки дійсно має порядок 8 , як це підтверджено, наприклад, на с.334 цієї глави з Посібника з програмування обмежень . (Хоча тут потрібно бути обережними щодо перевитрати; див. Нижче). Тож на даний момент я здогадуюсь, що відповідь - 25 х 16 = 400.

Я додаю цей математичний відступ, тому що з вашого профілю я бачу, що ви зацікавлені в подальшому вивченні математики. Я, можливо, не кажу тут нічого, про що ви ще не знаєте, але тут все одно.

Зауважте, що є кілька шахових позицій, які вийдуть однаковими за різних симетрій дошки. Наприклад, розглянемо акт відображення по діагоналі a1-h8. Така симетрія дошки, як правило, змінить задане положення, наприклад

стає

Але звичайно, деякі позиції (а саме ті, у яких є лише фрагменти по діагоналі a1-h8) не змінюються в межах цієї симетрії, наприклад, положення

залишається незмінним, коли ми розмірковуємо по цій діагоналі.

Через таку поведінку, як правило, потрібно бути обережним, щоб не переборщити в подібній формі підрахунку. Для вашої проблеми це означає бути впевненим, що жодна з ваших базових позицій не повторюється ні в одній із (неідентифікаційних) симетрій, так що наше "x 16" при отриманні загальної кількості позицій від кількості базових позицій не є перенарахування. У цьому випадку ваші основні позиції є досить складними / асиметричними, щоб зрозуміло, що жодна з них не повториться в цих симетріях, тому хвилюватися нема про що, але в математиці це часто, коли все є "зрозумілим", що потрібно найбільше переживайте за помилки. (Насправді є приказка, що якщо ви хочете знайти помилки в математичному доказі, почніть з того місця, де написано: "Зрозуміло, що ...")