Чи можуть король і лицар примусити заступити проти самотнього короля?

Я вірю, що король та два лицарі здатні примусити заступити проти самотнього короля (хоча, очевидно, не мат-мату), але що робити з королем та одним лицарем проти самотнього короля?

Я спершу подумав, що змусити тупика неможливо. Тому я встановив випадкову позицію з King + Knight vs King, де самотній Кінг був на краю дошки, і я спробував проаналізувати це.

Результат: Білий може примусити пату! Хитрість - хід 3. Kd2 !!

Це не доводить, що Король і Лицар завжди можуть примусити тупика проти самотнього Короля, але це, принаймні, показує, що не зовсім неможливо, що Король + Лицар може примусити тупика.

Я, очевидно, не хочу відповіді "так / ні" без жодних доказів, щоб підтвердити це. Мені хотілося б або незаперечного доказу, або хоча б якихось дуже вагомих доказів.

Одна ідея полягає в тому, щоб створити базу таблиць з ендграйдом, яка враховує тупикову ситуацію як виграш, що еквівалентно твердженню, що Білий виграє, коли захопить Чорного короля. Потрібно було б бути лише 64x63x62 = 249984 позицій.

Друга ідея полягала б у тому, щоб отримати базовий двигун і змінити його код, щоб він враховував тупик як виграш, і ви, ймовірно, також можете викинути більшу частину коду двигуна, щоб змусити його швидше обчислювати. Потім змусьте обчислити King + Knight vs King у кількох положеннях, де самотній Кінг починається з краю дошки (але не надто близько до кута). Але ця ідея була б менш переконливою, ніж база даних.

Вичерпний комп'ютерний пошук показує, що, як очікується, K + N не може взагалі застосувати тупик проти самотнього К.

Насправді король, що захищається, може уникнути тупикової ситуації, якщо він не знаходиться в одному з шести квадратних трикутних районів кутів, показаному на наступній схемі

навіть по довгому краю кожного трикутника (дванадцять білих королів на схемі) тупик може бути вимушений лише в декількох спеціальних положеннях. А саме, Kb2 для переміщення може бути застосовано силою лише з цієї позиції

та його відображення щодо діагоналі a1-h8; і Ka3 для переміщення затримується лише в тому випадку, якщо стикаються з Kc3 і Knight на одному з квадратів b2, c5, b6, які керують a4 (перший з них виникає на початку тупикової ситуації в 9, показаній Петросяном ).

Звідси випливає, що кожна з цих чотирьох позицій є взаємною Цугцванг: захисник потрапляє в тупик силою лише в русі. Існує досить мало інших Зугцвангів (до симетрії борту), щоб перелічити їх усі. Одне - це унікальне програшне положення максимальної довжини:

Ще два отримані з нього, переміщуючи Королів з b1 / d1 до a1 / c1 або a2 / c2. Нарешті, Ka2 проти Kc2 і Nb1 (b5) - найкоротший взаємний Зугванг.

Як припустив Глорфіндель , деякі з цих позицій стосуються Тройцького, що закінчується KNN / KP. Наприклад, це взаємний Zugzwang (у звичайному розумінні виграш BTM та розіграш WTM), як і кожна з трьох позицій BTM в основній лінії 1 ... Kg7 2 Kg5 Kg8 3 Kg6 Kf8 4 Kf6:

Питання, чи може король і лицар проти одного царя може примусити тупика, є досить теоретичним. На практиці це завжди нічия, оскільки король і лицар не в змозі спаровуватися з королем самостійно.

Тупик не може бути вимушений. Це може бути досягнуто лише тоді, коли один король знаходиться в одному з кутів, тому сам король повинен допомогти: