КВМ проти К мат на нестандартних дошках

Я знаю, як виграти закінчення гри з єпископом та лицарем, але це слизький процес і, здається, це лише ледве перемога, коли ворожий король майже врятувався. З цієї причини мені цікаво ендгра на інших розмірах плати, і якщо це все-таки буде можливо в загальному випадку плати MxN. Наприклад:

• Чи є вимушена перемога на дошці 10х10?
• Чи є вимушена перемога на дошці 7x7 з єпископом "неправильного" кольору? (тобто єпископ, який не може атакувати кутові квадрати)

Припустимо, правило 50 переміщення не застосовується.

Власне, єпископ та товариш лицарів не такі слизькі, як здається. Я перевірив це на програмі таблиці таблиць, яку я написав. На дошці 10х10 сторона з єпископом та рицарем (скажімо, білим) може змусити напарника максимум у 47 ходах. Білий навіть може змусити товариша на дошці 16х16, максимум 93 ходи. Я вважаю, що товариш може бути примушений на дошці з великим рівним розміром.

По-перше, на дошці непарних розмірів я підтвердив, що білий не може змусити товариша, якщо єпископ має неправильний колір. Матеру можна примусити лише у хорошому кутку (той, яким керує єпископ), тому, якщо немає хороших куточків, напарника не можна примушувати.

На дошці 10х10 оптимальне сполучення в 47. Вихідне положення - W: Ka1, Nb1, Bc1; B: Kc2. 1.Bb2 Kb3 2.Ba3 Kc2 3.Ka2 Kd3 4.Kb3 Ke4 5.Kc4 Ke5 6.Bg9 Kf4 7.Kd5 Kf5 8.Be7 Kf4 9.Ke6 Kg4 10.Ke5 Kf3 11.Kf5 Kg2 12.Kg4 Kf2 13. Kf4 Kg2 14.Nd2 Kh1 15.Kg3 Ki2 16.Nf3 Ki1 17.Kh3 Kh1 18.Bf6 Ki1 19.Nh2 Kh1 20.Bj2 Kg1 21.Ng4 Kf1 22.Kg3 Ke2 23.Nf2 Kd2 24.Bf6 Ke3 25.Bg7 Kd2 26.Kf4 Kc2 27.Ke4 Kd2 28.Bd4 Ke1 29.Nh1 Kf1 30.Kf3 Ke1 31.Be3 Kd1 32.Ke4 Kc2 33.Kd4 Kd1 34.Kd3 Ke1 35.Ng3 Kd1 36.Bc5 Ke1 37.Bd4 Kd1 38. Bc3 Kc1 39.Nf5 Kd1 40.Ne3 Kc1 41.Kc4 Kb1 42.Kb3 Kc1 43.Be1 Kb1 44.Bd2 Ka1 45.Nc2 + Kb1 46.Na3 + Ka1 47.Bc3 #

Після 23. Nf2 у нас є позиція, подібна до тієї, що показана у відповіді Ендрю (але догори ногами: W: Kg3, Bj2, Nf2; B: Ke2). Якщо ми зробимо цю дошку 8х8, видаливши стовпці a і b (і рядки 9 і 10), вона буде зв'язана в 14, але ось вона в 25. У оптимальному рядку вище чорний король ніколи не намагається втекти до кут a10. Скажімо, він робить, з 23. ... Kd2 24. Bf6 Kc2 . Цей хід скорочує товариша на один хід, з продовженням 25.Kf3 Kb3 26.Ke4 Ka4 27.Kd5 Kb5 28.Bd4 Ka4 29.Kc4 Ka5 30.Kc5 Ka6 31.Kc6 .

Чорний король може втекти лише до а6, і в кінцевому підсумку все ще потрапив у пастку у хорошому куточку a1. Решта цього продовження - 31. ... Ka5 32.Nd3 Ka4 33.Kc5 Ka5 34.Nb4 Ka4 35.Kc4 Ka5 36.Be3 Ka4 37.Bb6 Ka3 38.Nd3 Ka4 39.Nb2 Ka3 40.Kc3 Ka2 41. Kc2 Ka3 42.Ba5 Ka2 43.Bb4 Ka1 44.Nd3 + Ka2 45.Nc1 + Ka1 46.Bc3 #

Ось кількість рухів, щоб змусити товариша на кожній дошці рівного розміру від 4 до 16. 4: 15; 6: 22; 8: 33; 10: 47; 12: 64; 14: 78; 16: 93. Зауважте, що на будь-якій дошці розмірів є кілька позицій, які намальовані, оскільки чорний може виграти шматок одразу.

Далі - оптимальний товариш у 92 на дошці 16х16. Вихідне положення знову W: Ka1, Nb1, Bc1; B: Kc2.1.Bb2 Kb3 2.Bi9 Ka4 3.Kb2 Kb5 4.Kc3 Kc6 5.Kd4 Kd7 6.Ke5 Ke8 7.Kf6 Kf8 8.Kg6 Kg8 9.Bg11 Kf9 10.Kh7 Ke10 11.Kg8 Kf11 12.Bi9 Ke10 13. Kh9 Kd11 14.Kg10 Ke10 15.Bg11 Kd9 16.Kf9 Kc10 17.Ke10 Kc11 18.Ke11 Kc12 19.Nd2 Kd13 20.Ne4 Ke14 21.Nf6 Kf13 22.Kf11 Ke14 23.Ke12 Kd15 24.Kd13 Ke16 25.Ke14 Kd16 26.Nd7 Kc16 27.Ne9 Kb15 28.Kd15 Kb14 29.Bf10 + Kb15 30.Nd11 Ka16 31.Nc13 Kb16 32.Kd16 Ka15 33.Kc15 Ka16 34.Kc16 Ka15 35.Na12 + Ka16 36.Nb14 Ka15 37.Nd13 Ka14 38. Nc11 Ka13 39.Bc13 Ka14 40.Kc15 Ka13 41.Kc14 Ka14 42.Bd12 Ka13 43.Na10 Ka12 44.Kc13 Kb11 45.Nb12 Ka12 46.Kc12 Ka13 47.Be11 Ka12 48.Bf12 Ka13 49.Bc15 Ka12 50.Nd11 Ka11 51.Bf12 Ka12 52.Nc13 Ka11 53.Kc11 Ka10 54.Nd11 Ka9 55.Nb10 Kb9 56.Kb11 Ka9 57.Kc10 Ka10 58.Bg13 Ka11 59.Be15 Ka10 60.Nd9 Ka9 61.Bh12 Ka10 62.Nc11 + Ka9 63. Kc9 Ka8 64.Nd9 Kb7 65.Nb8 Ka7 66.Kc8 Ka8 67.Bg11 Ka9 68.Be13 + Ka8 69.Nd7 Ka7 70.Bh10 Ka8 71.Nc9 Ka7 72.Kc7 Ka6 73.Kc6 Ka7 74.Bd6 Ka6 75.Bc5 Ka5 76.Ne8 Ka4 77.Kd5 Kb3 78.Kd4 Kc2 79.Bb4 Kb3 80.Kc5 Ka2 81.Kc4 Kb1 82.Kc3 Kc1 83.Nd6 Kd1 84.Kd3 Kc1 85.Nc4 Kd1 86.Ba5 Kc1 87.Bd2 Kb1 88.Kc3 Ka2 89.Kc2 Ka1 90.Kb3 Kb1 91.Na3 + Ka1 92.Bc3 #

Це довго, але граючи через нього, безумовно, допомогло переконати мене, що білі можуть змусити товариша на довільно великій дошці. На першій фазі білий цар і єпископ можуть загоняти чорного короля, купуючи темпі для білого лицаря, щоб наздогнати. Після того, як чорний король потрапив у пастку в поганому кутку (в такому випадку A16), він перемішується вниз по архіву з дуже маленьким дихальним приміщенням. Незважаючи на те, що процедура є значно складнішою, ніж маневр W, білий колір, як видається, завжди знаходиться в повному контролі.

Почнемо з питання 7x7:

Чи є вимушена перемога на дошці 7x7 з єпископом "неправильного" кольору?

Це, здається, простіше відповісти на два питання. По-перше, переконайте себе, що це єдиний шаблон спаровування (чорний король також може опинитися на темному квадраті зліва зліва):

Ключовим моментом є те, що білі не можуть змусити цю позицію. Король Блек був би в тупику на попередньому кроці. Крім того, якщо король чорного переміститься на один квадрат ліворуч, єдиним законним кроком, який білі могли би зіграти, було б переміщення єпископа на ту діагональ, яка доставляє товариша. Якби це було так, де до цього був король чорних? Це було б на f2 (два вліво, одна вгору). Тож чорний не змушений був рухатись у кут, а міг натомість уникнути товариша. На закінчення, немає ніякого способу змусити товариша в неправильному куті, скорочення дошки не змінює цей факт.

Тепер перше питання:

Чи є вимушена перемога на дошці 10х10?

У цьому випадку білий колір матиме належний кут, але припустимо, що білий може примусити чорного короля в неправильний кут. На стандартній дошці 8х8 білий повинен відпустити короля з боку на кілька кроків у процесі руху короля до куточка спарювання (див. Вікіпедію для повного посібника). Ось нормальне положення, коли чорний біжить від краю (тимчасово):

Чорний зазвичай грає ...Kc6і тоді після Bd3!короля немає втечі. На дошці 10х10, однак, чорний міг грати, ...Kb7а потім ...Ka7і нарешті ...Kz6(назвемо перший файл зліва "z"). У білого немає способу перемогти короля та лицаря, щоб запобігти уникненню чорного короля. Отже, добре, що дошка лише 8x8, інакше єпископ і лицар ніколи не зроблять пару з королем!

_{Відмова: Я не підтвердив жодного зі своїх тверджень з таблицями}

Очевидно, що багато вимушених перемог на будь-яких дошках, де M і N принаймні 8 (включаючи M або N або обидва безкінечні), якщо є куточок такого ж кольору, як і єпископська площа.

Якщо шматки знаходяться в підфарбованому жовтому кольорі кольорі, а чорний король не може уникнути трикутника d10-j4-j10, позиція також виграється на повній дошці, оскільки такі позиції можна (оптимально) виграти в цій підгрупі, дошку, не даючи чорному королю вийти з трикутника. Аналогічно і для зеленої підкамери. Те саме стосується плати MxN.

Але виграні позиції жодним чином не обмежуються такими посадами. Наприклад, у показаному положенні, Білий може поєднуватися не більше ніж 33 ходами проти будь-якої захисту Чорних. Звичайно, є значний відсоток подібних позицій.

Не обов'язково вимушені виграші, якщо M і або N занадто малі. Наприклад, на платі 1xN немає пунктів мат.

Суворо кажучи також відносно невелика кількість вимушених виграшів на (досить великих, тобто M, N> 2, M + N> 6) дошках, які не містять кута такого ж кольору, як єпископська площа, але включають кут протилежного кольору. Сюди входить дошка 7x7 з "неправильними" кольоровими куточками, про які ви питаєте. Це також можливо в "неправильному" куті будь-якої дошки, що включає такий куточок. Наприклад, на дошці 8х8:

1.Ng6 + Kg8 2.Bd5 #

На дошці, яка не містить кутів, немає перемог, тобто там, де одна або обидві сторони простягаються нескінченно в обох напрямках.

Існують намальовані позиції на будь-якому розмірі дошки (це загальний випадок на дошках, що не мають кута такого ж кольору, як єпископська площа, і на дошках, де один або обидва M і N занадто малі і, я вважаю, на дошках де M і N великі), один приклад на дошці 8x8:

1 ... Kf3 тощо.

Намальовані позиції є винятком на стандартній дошці (менше 10% усіх позицій згідно з Налімовим ЕГТБ).

Але я вважаю, що на дошці 10х10 також є нічия шляхом повторення, коли самотній король не може примусити захопити шматок, але сторона з шматками також не може змусити товариша. Я думаю, що це стає загальним випадком для великих M і N, оскільки, очевидно, це для непарних M і N з "неправильним" кольоровим єпископом.

До тих пір, поки на дошці буде куточок такого ж кольору, як і єпископська площа, а M або N залишаються на рівні 8 або менше (але не занадто малих), товариш все одно буде насильницьким для обмежених великих значень іншого та (дещо неважливо) у стільки позицій, як не для нескінченного значення іншого.

Редагувати:

Після прочитання допису DanStronger я думаю, що мої коментарі до розіграшів шляхом повторення на більших дошках помилкові. Вони ґрунтувалися на 45-річному аналізі, який я зробив, коли я вперше навчився грати закінчення (деталі якого зараз неясні), але я схильний думати, що аналіз був хибним. У цьому випадку відсоток розіграшів повинен фактично зменшуватися зі збільшенням розмірів дошки.

Я думаю, що найбільша відмінність, яку ми можемо зробити тут, - це те, скільки кроків буде потрібно, щоб спарити короля. Вище є багато доказів, які підтверджують, що можна парувати на майже нескінченно зростаючій дошці (якщо припустити, що вона залишається квадратом, не прямокутним (про це я не маю уявлення)) У турнірі є правило 50 рухів, щоб запобігти непотрібно довго ігри. З цим сценарієм можна поєднатись на дошці 8x8 в межах 50 кроків, але мало місця для помилок. Чим більша дошка, тим більше місця потрібно, щоб загнати Короля в кут, що призводить до пересування товаришів в 90+.

Підводячи підсумок, поки плата квадратна (довжина = ширина), тоді KBN проти K мати можна досягти. Я не можу відповісти, якщо дошка прямокутна, хтось інший може відповісти на це, якщо вони хочуть, або ви можете редагувати ваше запитання!