Редагувати: це не працює, оскільки я забув про виявлені чеки. Однак я вважаю, що цей прогрес є помітним, тому відповідь я залишу тут.
Повторення неможливо.
По-перше, очевидно, не може бути жодних ходів пішаків, вигулу чи захоплення.
Далі я стверджую, що ніяких кроків короля не може бути. Щоб підтвердити це, зауважте, що король ходом може дати чек, лише якщо це виявлений чек. Отже, щоб король рухався, щоб перевірити, два королі повинні знаходитись у лінії, вертикальній, горизонтальній чи діагональній. Враховуючи положення одного з королів, набір квадратів, на якому може бути другий король, може перевірити, чи це набір квадратів, що знаходяться в одній лінії з королем, а не той самий квадрат, як король, або квадрати поруч що квадрат. Жодна з цих квадратів не є суміжними, тому король не може переміщатися з одного такого квадрата в інший. Зауважте, що квадрати A і B знаходяться в рядку, якщо і тільки якщо квадрати B і A знаходяться в рядку, тож коли один з королів рухається, вони більше не перебувають у рядку, тому подальший рух короля не може перевірити. Отже, є максимум один хід у циклі,
Тому не може бути ніяких лицарських чеків, інакше король повинен був би переїхати або лицар повинен був бути захоплений у полон.
Тому всі рухи - це ходи по шматочках, а значить, всі вони повинні блокувати попередні перевірки.
Припустимо, що для будь-якої метрики на множині квадратів шахової дошки вірно, що для будь-якого набору позицій для королів K1 та K2 та будь-якого квадрата A, який знаходиться в деякій прямій (вертикальній, горизонтальній чи діагональній) з королем, будь-який блокуючий квадрат B не може збільшити суму відстаней від квадрата до кожного з царів (тобто d (A, K1) + d (A, K2)> = d (B, K1) + d (B, K2 )). Тоді сума відстаней до кожного з квадратів царів повинна залишатися незмінною протягом циклу.
Легко перевірити, чи задовольняють такі властивості такі показники: d (A, B) = | рядок (A) -row (B) | d (A, B) = | стовпець (A) -колонка (B) | d (A, B) = | нахил1діагональний (A) -слой1діагональний (B) | (Під цим я маю на увазі пронумеруйте діагоналі, паралельні діагоналі A1H8 від 1-15) d (A, B) = | нахил-1діагональ (A) -лопа-1діагональ (B) | (Те саме, що і попереднє, але паралельне іншій діагоналі)
Насправді легко помітити, що для будь-якої з вищевказаних метрик, якщо блок блокування не знаходиться в двох паралельних лініях цих метрик (наприклад, для першої метрики, в межах прямокутника зі сторонами, зробленими рядками кожного з королі та стовпчики сторони дошки), тоді сума відстаней зменшиться із наступним блокуючим квадратом. Що було б суперечливістю, тому квадрати, що блокуються, мають бути в межах кожної з обмежуючих паралельних прямих.
Якщо два царі знаходяться в одному рядку, стовпчику або діагоналі, використання аргументу з абзацу вище показує, що всі блокуючі квадрати повинні бути в цьому рядку, стовпчику або діагоналі, явно неможливо.
Тому, якщо ми розглядаємо позиції короля як дві протилежні вершини прямокутника зі сторонами, паралельними сторонам дошки, за допомогою перших двох показників всі блокуючі квадрати повинні знаходитись у прямокутнику чи на обмежувальному прямокутнику. Використання двох інших показників дозволяє зменшити це до граничного паралелограма.
Зауважте, що єдиними можливими блокуючими квадратами є ті, що є перетинами рядків, стовпців та діагоналей через кожну з квадратів царів, оскільки вони повинні надати чек іншому королю та заблокувати чек. Неважко помітити, що в обмежувальному паралелограмі завжди є 2 можливі блокуючі квадрати: дві інші вершини паралелограма. Але тоді, якщо у нас є одна контрольна деталь у кожній (що є необхідною), то з них немає квадратів, на які можна перейти, щоб перевірити, суперечливість.