Вступ

Сьогодні ми піклуємось про групу студентів першокурсників лінійної алгебри: визначеність матриці! Мабуть, це ще не є проблемою, і ось ми:

Вхідні дані

• А симетрична матриця в будь-якому зручному форматі (ви можете також, звичайно , тільки взяти верхню чи нижню частину матриці)$n\times n$ A$A$
• За бажанням: розмір матриці$n$

Що робити?

Завдання проста: Дана матриця, реально оцінена Матриця вирішує, чи є вона позитивно визначеною, вивівши значення truthy, якщо так, і значення фальси, якщо ні.$n\times n$

Ви можете припустити, що ваші вбудовані модулі дійсно працюють точно, і, отже, не потрібно враховувати числові проблеми, які можуть призвести до неправильної поведінки, якщо стратегія / код "очевидно" повинен дати правильний результат.

Хто виграє?

Це код-гольф , тому найкоротший код у байтах (за мовою) виграє!

---

Що таке матриця, що визначається позитивом?

Мабуть, існує 6 еквівалентних рецептур, коли симетрична матриця є позитивно визначеною. Я відтворять три простіші та посилаю вас у Вікіпедію на більш складні.

• Якщо тоді є позитивно-визначеним. Це можна переформулювати так: Якщо для кожного ненульового вектора (стандартний) крапковий добуток і позитивний, то є позитивним-певним.$\forall v\in\mathbb R^n\setminus \{0\}: v^T Av>0$$A$
  
  $v$$v$$Av$$A$
• Нехай бути власні з , якщо зараз (тобто всі власні значення позитивні), тоді є позитивним-певним. Якщо ви не знаєте, що таке власні значення, я пропоную вам скористатись улюбленою пошуковою системою, тому що пояснення (та необхідні стратегії обчислення) занадто довго містяться в цій публікації.$\lambda_i\quad i\in\{1,\ldots,n\}$A ∀ i ∈ { 1 , … , n } : λ i > 0 A$A$$\forall i\in\{1,\ldots,n\}:\lambda_i>0$$A$
  
• Якщо Холецького-розкладання з існує, то існує нижній-трикутна матриця такого , що , то позитивно визначено. Зауважте, що це еквівалентно ранньому поверненню "false", якщо в будь-який момент обчислення кореня під час роботи алгоритму виходить з ладу через негативний аргумент.$A$$L$$LL^T=A$$A$

Приклади

Для надійного виходу

$$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&4\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}5&2&-1\\2&1&-1\\-1&-1&3\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}1&-2&2\\-2&5&0\\2&0&30\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}7.15&2.45\\2.45&9.37\end{pmatrix}$$

Для виходу фальси

(принаймні одне власне значення 0 / позитивне напіввизначене)

$$\begin{pmatrix}3&-2&2\\-2&4&0\\2&0&2\end{pmatrix}$$

(Власні значення мають різні знаки / невизначено)

$$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$

(усі власні значення менші ніж 0 / від'ємне певне)

$$\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$$

(усі власні значення менші ніж 0 / від'ємне певне)

$$\begin{pmatrix}-2&3&0\\3&-5&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$$

(усі власні значення менші ніж 0 / від'ємне визначене)

$$\begin{pmatrix}-7.15&-2.45\\-2.45&-9.37\end{pmatrix}$$

(три позитивні, одне негативне власне значення / невизначене)

$$\begin{pmatrix}7.15&2.45&1.23&3.5\\2.45&9.37&2.71&3.14\\1.23&2.71&0&6.2\\3.5&3.14&6.2&0.56\end{pmatrix}$$

C, 108 байт

-1 байт завдяки Логерну
-3 байти завдяки слюсарі

f(M,n,i)double**M;{for(i=n*n;i--;)M[i/n][i%n]-=M[n][i%n]*M[i/n][n]/M[n][n];return M[n][n]>0&(!n||f(M,n-1));}

Спробуйте в Інтернеті!

Виконує Гауссова елімінацію та перевіряє, чи всі діагональні елементи позитивні (критерій Сільвестра). Аргумент n- розмір матриці мінус одна.

MATLAB / Октава , 19 17 12 байт

@(A)eig(A)>0

Спробуйте в Інтернеті!

Функція eig забезпечує власні значення у порядку зростання, тому, якщо перша власна величина більша за нуль, інші теж.

Желе , 11 10 байт

ṖṖ€$ƬÆḊṂ>0

Використовує критерій Сильвестра .

Спробуйте в Інтернеті!

Як це працює

ṖṖ€$ƬÆḊṂ>0  Main link. Argument: M (matrix)

   $Ƭ       Do the following until a fixed point is encountered.
Ṗ             Pop; remove the last row of the matrix.
 Ṗ€           Pop each; remove the last entry of each row.
     ÆḊ     Take the determinants of the resulting minors.
       Ṃ    Take the minimum.
        >0  Test if the least determinant is positive, i.e., if all determinants are.

R , 29 байт

function(m)all(eigen(m)$va>0)

Спробуйте в Інтернеті!

---

Альтернатива за допомогою холеського:

R , 34 33 байт

function(m)is.array(try(chol(m)))

Спробуйте в Інтернеті!

-1 байт завдяки @Giuseppe

Haskell , 56 байт

f((x:y):z)=x>0&&f[zipWith(-)v$map(u/x*)y|u:v<-z]
f[]=1>0

Спробуйте в Інтернеті!

В основному відповідь на відповідь nwellnhof . Виконує гауссова елімінація та перевіряє, чи позитивні елементи на головній діагоналі.

Виходить з ладу перший фальсифікат через помилки округлення, але теоретично він би працював з нескінченною точністю. Завдяки пропозиції Кертіса Бехтеля , тепер усі результати правильні.

Мова Вольфрама (Mathematica) , 20 байт

0<Min@Eigenvalues@#&

Спробуйте в Інтернеті!

MATL , 4 байти

Yv0>

Спробуйте в Інтернеті!

[3 -2 2; -2 4 0; 2 0 2]0$10^{-18}$

Математика, 29 28 байт

AllTrue[Eigenvalues@#,#>0&]&

Визначення 2.

Джулія 1,0 , 28 байт

using LinearAlgebra
isposdef

Спробуйте в Інтернеті!

---

Джулія 0,6 , 8 байт

isposdef

Спробуйте в Інтернеті!

MATL , 6 байт

Це можна зробити, використовуючи ще менше байтів, @Mr. Xcoder зумів знайти 5-байтну відповідь MATL !

YvX<0>

Пояснення

Yv     compute eigenvalues
  X<   take the minimum
    0> check whether it is greather than zero

Спробуйте в Інтернеті!

Клен , 33 байти

(тобто мої 2 копійки)

with(LinearAlgebra):
IsDefinite(A)

JavaScript (ES6),  99 95  88 байт

$0$$1$

f=(m,n=0,R=m[n])=>R?f(m,n+1)&R[m.map((r,y)=>y<n&&R.map((v,x)=>r[x]-=v*r[n]/R[n])),n]>0:1

Спробуйте в Інтернеті!