Чому для ідеальних відображень поверхня повинна мати безперервність G2?

Чому для ідеальних відображень поверхня повинна мати безперервність G2 (поверхня класу A)?

Мені б хотілося математичної відповіді.

rendering

Будь-який контекст? Або посилайтеся, де ви це читали? Бо для мене це не має сенсу. Плюс до цього, якщо я не помиляюся, неперервність Gn визначається лише для кускових поліномних поверхонь, немає причини, щоб поверхня була поліноміальною, і на практиці більшість поверхонь є лінійно-лінійними.

— Том

G2 просто згадує геометричну n-похідність, незалежно від будь-якої параметризації.

— Fabrice NEYRET

@tom Він говорить про загальний дизайн серфінгу, як у CAD. Ні, їм не потрібно бути поліномами, але на практиці вони часто є (за винятком кругових дуг і

— конік

@joojaa, ніж я все ще спантеличений, чому вживання спеціальних позначень Gn. У математиці існує стандартне поняття Cn диференційованого множини. Так Gn і Cn однакові? Я думав, що колектор Gn є багатозначним многочленом, тому це множина C-infty, за винятком патч-швів.

— Том

@tom C неперервність - це параметрична неперервність, а G - геометрична безперервність і в цьому випадку неперервність у двох окремих геометріях.

— joojaa

Відповіді:

Те, що ви бачите на відображенні, - це n-безперервність нормалей, які є похідними позицій. -> поверхня, що містить лише G1, мала б нормальне поле, лише для G0, тобто з раптовою зміною градієнта в нормалі (і, таким чином, відбиттям), що очі можуть помітити. На поверхнях G2 є нормальні поля G1, що є досить рівним для ваших очей.

— Fabrice NEYRET
джерело

Неперервність G0 означає, що окремі поверхні зустрічаються,
G1 Неперервність, що поверхні зустрічаються під одним кутом,
Неперервність G2 означає, що зміна кута відповідає точці дотику.

Вимога G2 не означає, що поверхня хорошої якості. Просто означає, що без цього поверхня не матиме постійного потоку відбиття, щоб люди могли бачити різницю. Це може бути, а може і не бути добрим, залежить від того, що ви хочете.

Математично нормальна поверхня:

$f(u,v) \frac{\partial}{\partial u} \times f(u,v) \frac{\partial}{\partial v}$

Оскільки виводяться обидві сторони, це означає, що функціональне поле нормальної поверхні має на один градус менше, ніж вихідна поверхня. Отже, щоб відображення було першим ступенем безперервним, воно повинно мати наступність другого ступеня.

Поки ми встановили залежність між неперервністю поверхні та безперервністю відображення. Поки що ніщо не доводить, що поверхневе відбиття має бути першим ступенем безперервним. Щоб зрозуміти, чому ми мусимо вийти з царини математики та увійти у сферу біології.

Око обладнано алгоритмом виявлення ребер на структурному рівні прямо на сітківці. Цей алгоритм виявлення ребра по суті працює як дискретна похідна вхідного сигналу. Отже, якщо ваша поверхня не є G2 безперервною, то виявлення людського краю починається і виявляється. Довідки читайте на Mach Mach Band тощо.

Оскільки виявлення ребра є дискретним, G2 суцільності не достатньо. Зміна повинна бути задоволена не лише локально, але й задоволена сітківкою. Тож зміна все ще повинна бути неглибокою, щоб не викликати проблем.

— joojaa
джерело

Що означає: "Зміна повинна бути не лише задоволеною місцевою, але й задоволеною сітківкою"?

— Dan Hulme

Око не записує нескінченний сигнал. Її дискретно, тому навіть якщо ваша поверхня технічно може відповідати умові, представленій на математичному рівні. Це може бути недостатньо, якщо інтервал між зразками дикрету не побачить змін. Тож ухил все ще повинен бути досить великим, щоб людське око помітило.

— joojaa

Здається, що ви говорите, що похідна (від норми) не повинна бути постійно, але її похідна повинна бути нижче деякої межі. Якщо це ви маєте на увазі, я думаю, що останній абзац вашої відповіді міг бути зрозумілішим.

— Dan Hulme

@DanHulme - це не межа похідної, це не питання нахилу, а лише міжстінка схилу. Тож мова йде про дискретний відбір проб. Тому дуже гострий кут, але невелика різниця у схилі може здатися безперервним. Так само неперервні зміни під коротким міжряддям можуть здаватися різкими. Це не про математику, а про вибірку. Його просто важко оцінити як біологічну систему.

— joojaa