Оклюзія сферичного перетину (для гібридного проміння)

Думаючи про гібридне проміння, звідси наступне питання:

Припустимо, у мене є дві суцільні сфери і . Ми знаємо їхні центри і радіуси, і ми знаємо, що вони мають певний об'єм перекриття в просторі.$s_1$$s_2$

У нас є типова настройка тривимірної графіки: припустимо, що око стоїть на початку, і ми проектуємо сфери на площину перегляду при для деякого позитивного . Сфери виходять за межі огляду і не перетинають її.$z = f$$f$

Нехай - коло в просторі, яке є точками на поверхні обох сфер, тобто видимі (з деяких кутів) "з'єднання" їх перекриваються об'ємів.$c$

Я хочу порахувати, чи видно будь-яке з , коли проектується на нашу площу огляду. Це може бути не так, якщо або повністю .$c$$s_1$$s_2$

Будь-які ідеї для підходу до цього?

Зважаючи на те, що я нічого не пропустив, ви, ймовірно, можете скоротити це до проблеми в 2D просторі. Дивлячись на площину, визначену центральними точками сфер та походженням камери, сцена виглядає приблизно так:

Сфери стають колами з центральними точками та , а коло перетину зараз лише 2 точки , цікавий лише той, який ближче одинКамери / очей довільно встановлений в точці .$C_1$$C_2$$P$$E$

Обчислити, чи видно одну точку на сферах чи ні - це просто: Просто перевірте, чи кути в точці між і відповідно і є більшими (або рівними) 90 градусів ¹ .$P$$E$$C_1$$E$$C_2$

Якщо видно, видно деяку частину (наприклад, хоча б цю точку) кола перетину. Інакше весь круг перетину повинен бути забитий однією з ваших сфер, а саме тією, яка створює кут менше 90 градусів.$P$

Ось як це виглядає, якщо не видно з :$P$$E$

Ви чітко бачите, як ця точка колом навколо і що кут між і у менший за 90 градусів.$C_2$$E$$C_2$$P$

_{¹ Наявність кута, рівного 90 градусів, означає, що лінія між і просто торкається відповідного кола / сфери в точці як дотична.$E$$P$$P$}