Як співвідносні зразки впливають на поведінку рендері Монте-Карло?

Більшість описів методів візуалізації в Монте-Карло, таких як відстеження шляхів або двонаправлене трасування шляху, передбачають, що зразки генеруються незалежно; тобто використовується стандартний генератор випадкових чисел, який генерує потік незалежних, рівномірно розподілених чисел.

Ми знаємо, що зразки, які не вибираються самостійно, можуть бути корисними з точки зору шуму. Наприклад, стратифіковані вибірки та послідовності з низькою невідповідністю - два приклади корельованих схем вибірки, які майже завжди покращують час візуалізації.

Однак є багато випадків, коли вплив співвідношення вибірки не є настільки чітким. Наприклад, способи ланцюга Маркова Монте-Карло, такі як легкий транспорт Metropolis, генерують потік корельованих зразків за допомогою ланцюга Маркова; багатопроменеві методи повторно використовують невеликий набір світлових шляхів для багатьох контурів камери, створюючи багато співвіднесених тіньових з'єднань; навіть фотонне картографування отримує свою ефективність від повторного використання світлових шляхів через багато пікселів, також збільшуючи кореляцію вибірки (хоча і упереджено).

Всі ці методи візуалізації можуть виявитись корисними в певних сценах, але, здається, погіршують ситуацію в інших. Незрозуміло, як кількісно оцінити якість помилок, введених цими методами, крім рендеринга сцени з різними алгоритмами візуалізації та очного яблука, чи виглядає одне краще, ніж інше.

Отже, питання полягає в тому, як кореляція вибірки впливає на дисперсію та конвергенцію оцінки Монте-Карло? Чи можемо ми якось математично визначити, який тип кореляції вибірки кращий за інші? Чи є інші міркування, які могли б вплинути на корисність чи згубність вибірки (наприклад, помилка сприйняття, мерехтіння анімації)?

Існує одна важлива відмінність.

Методи Марковського ланцюга в Монте-Карло (наприклад, Метрополіс Легкий транспорт) повністю визнають той факт, що вони виробляють безліч сильно корельованих, це насправді є основою алгоритму.

З іншого боку, існують такі алгоритми, як Двонаправлене трасування Шляху, Багато світлого методу, Фотонне картографування, де вирішальну роль відіграє вибірка множинного значення та її евристика балансу. Оптимальність евристики балансу доведена лише для незалежних зразків. Багато сучасних алгоритмів співвідносять зразки, для деяких з них це спричиняє неприємності, а для деяких - не.

Проблема з корельованими зразками була визнана в статті Імовірнісні зв'язки для двонаправленого трасування шляху . Там, де вони змінили евристику балансу, щоб врахувати кореляцію. Подивіться на рисунку 17, щоб побачити результат.

Я хотів би зазначити, що кореляція "завжди" погана. Якщо ви можете дозволити собі зробити абсолютно новий зразок, ніж це зробити. Але більшу частину часу ви не можете собі цього дозволити, тому ви сподіваєтесь, що помилка через кореляцію невелика.

Змінити, щоб пояснити "завжди" : я маю на увазі це в контексті інтеграції MC

Де ви вимірюєте помилку за відхиленням оцінки

Якщо вибірки незалежні, то термін коваріації дорівнює нулю. Корельовані зразки завжди роблять цей термін ненульовим, тим самим збільшуючи дисперсію кінцевого оцінювача.

Це на перший погляд дещо суперечить тому, що ми стикаємося з стратифікованою вибіркою, оскільки стратифікація знижує помилку. Але ви не можете довести, що стратифікована вибірка сходиться до бажаного результату лише з імовірнісної точки зору, оскільки в ядрі стратифікованої вибірки ймовірність не задіяна.

І справа зі стратифікованою вибіркою полягає в тому, що це в основному не метод Монте-Карло. Стратифікована вибірка походить від стандартних правил квадратури для числової інтеграції, що чудово підходить для інтеграції плавної функції в малих розмірах. Ось чому він використовується для обробки прямого освітлення, що є проблемою з низькими розмірами, але його гладкість є спірною.

Таким чином, стратифікована вибірка є ще різним видом кореляції, ніж, наприклад, кореляція у методах Many Light.

Функція інтенсивності півсфери, тобто півсферична функція падаючого світла, помножена на BRDF, співвідноситься з кількістю необхідних зразків на твердий кут. Візьміть вибірковий розподіл будь-якого методу та порівняйте його з тією півсферичною функцією. Чим вони схожіші, тим кращий метод у цьому конкретному випадку.

Зауважте, оскільки ця функція інтенсивності зазвичай невідома , усі ці методи використовують евристику. Якщо припущення евристики виконані, розподіл краще (= ближче до бажаної функції), ніж випадковий розподіл. Якщо ні, то гірше.

Наприклад, вибіркова важливість використовує BRDF для розподілу зразків, що є простим, але використовує лише частину функції інтенсивності. Дуже сильне джерело світла, що висвітлює дифузну поверхню під неглибоким кутом, отримає кілька зразків, хоча його вплив все ще може бути величезним. Metropolis Light Transport створює нові зразки з попередніх з високою інтенсивністю, що добре для кількох сильних джерел світла, але не допомагає, якщо світло надходить рівномірно з усіх боків.