2-D пікова складність пошуку (MIT OCW 6.006)

9

У декламаційному відео для MIT OCW 6.006 о 43:30,

З огляду на матриці з стовпців і рядків, алгоритм піку Знаходження 2-D, де пік є будь-який більше значення , ніж або дорівнює це суміжних сусідів, був описаний як: $m \times n$ $A$ $m$ $n$

Примітка. Якщо в описі стовпців через є плутанина , я вибачаюся, але саме так описується відеозапис декламації, і я намагався відповідати відео. Це мене дуже бентежило. $n$

Виберіть середній стовпчик // Має складність $n/2$ $\Theta(1)$

Знайдіть максимальне значення стовпця // Має складність оскільки у стовпці є рядків $n/2$ $\Theta(m)$ $m$

Перевірте хориз. ряди сусідів max значення, якщо воно більше, ніж пік був знайдений, інакше повторюється з // Має складність $T(n/2, m)$ $T(n/2,m)$

Потім, щоб оцінити рекурсію, каже інструктор декламації

$T(1,m) = \Theta(m)$ оскільки він знаходить максимальне значення

$\begin{matrix} (E1) & Т (н, м) = Θ (1) + Θ (м) + Т (н / 2, м) \end{matrix}$ $T(n,m) = \Theta(1) + \Theta(m) + T(n/2, m) \tag{E1}$

Я розумію наступну частину, о 52:09 у відео, де він каже, що слід ставитися до як до постійної, оскільки кількість рядків ніколи не змінюється. Але я не розумію, як це призводить до такого продукту: $m$

\begin{matrix} (E2) & Т (н, м) = Θ (м) \cdot Θ (журнал н) \end{matrix}

$T(n,m) = \Theta(m) \cdot \Theta(\log n) \tag{E2}$

Я думаю, що, оскільки трактується як константа, він таким чином трактується як і усувається в вище. Але мені важко робити стрибок до . Це тому, що зараз ми розглядаємо випадок з постійною ? $m$ $\Theta(1)$ $(E1)$ $(E2)$ $T(n/2)$ $m$

Я думаю, що можна "побачити" загальну думку про те, що операція виконується, в гіршому випадку, для m кількості рядків. Я намагаюся з’ясувати, як описати стрибок від до до когось іншого, тобто отримати реальне розуміння. $\Theta(\log n)$ $(E1)$ $(E2)$

— user52207
джерело

1

Як я це розумію, потрібно $\Theta$ (m) час оцінити всі елементи в даному стовпчику та визначити, який із цих елементів є глобальним максимумом. Де $\Theta (\lg(n))$ Це означає, що в гіршому випадку алгоритм повинен оцінювати $\lg(n)$ стовпців у матриці до знаходження піку. Тоді б працювала $\Theta(m\lg(n))$

Наприклад, скажімо, ваша матриця має 32 стовпчики та 8 рядків.

Ви берете середній стовпчик, скажімо стовпець 16. Ви оцінюєте його і виявляєте, що глобальний пік стовпця витісняється елементом праворуч. Ви скидаєте стовпчики 1-16 і орієнтуєтесь на стовпці 17-32
Знайдіть середній стовпчик решти матриці, що є стовпцем 24, і ви оціните глобальний пік (це ваше друге оцінювання стовпців). Вам здається, що вам потрібно рухатись праворуч. Скиньте колонки 17-24, зосередьтесь на 25-32.
Знайдіть середину (стовпець 28) - ви оцінюєте (оцінка третього стовпця), і вам здається, що вам потрібно рухатись праворуч. Відкиньте стовпці 25 - 28 та зосередьтесь на 29 - 32.
Оцініть стовпчик 30 (четверте оцінювання), знайдіть, що вам потрібно перейти вправо, опустити стовпці 29-30.
Оцініть один з решти стовпців (оцінка п'ятого стовпця), і ви закінчите.

Загалом ви виконали п'ять оцінок стовпців. 5 = $\lg(32)$ = $\lg(n)$ де n - кількість стовпців у матриці, а lg - база журналу 2.

— ManGI1
джерело

2

аналіз, який ви окреслили, видається невірним. правильна складність $O(m)$ де $m$ - більший розмір матриці (або рядків, або стовпців). дивіться цей інший правильний аналіз для отримання більш / більш детальної інформації. частина помилки - не визначення відношення рецидиву $T(n,m)$ з точки зору $T(n,m)$ тільки (що правильно обробляється в папері). стаття показує / використовує нескінченну серію:

$\begin{eqnarray*} T(n) & = & T \left({n \over 2}\right) + cn \\ T(n) & = & T(1) + cn \left( 1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + \cdots \right) \\ &= & O(n) \end{eqnarray*}$

— взн
джерело

1

Ця відповідь насправді не викликає сумнівів! ОП говорить про алгоритм у декламаційному відео MIT OCW 6.006, в той час як ця відповідь говорить про інший алгоритм . Зокрема, аналіз, викладений ОП, є правильним щодо алгоритму цього відео.

— Джон Л.