Пошук розміру найменшого підмножини за допомогою GCD = 1

10

Це проблема, пов’язана з практичним заняттям конкурсу польського колегіального програмування 2012 року . Хоча я міг знайти рішення для основного конкурсу, я, здається, ніде не можу знайти рішення цієї проблеми.

Проблема полягає в тому, що: Враховуючи набір чітких додатних цілих чисел не більше , знайдіть розмір найменшого підмножини, що не має спільного дільника, окрім 1. - максимум 500, і рішення можна вважати, що існує . $N$ $10^9$ $m$ $N$

$m \le 9$ $S$ $|S|=10$ $S$ $1 < g_1 < g_2 < ... < g_{10}$ $\gcd(g_i,g_j)=1$ $i \neq j$ $S$ $g_2g_3...g_{10}$ $g_2g_3...g_{10} \ge 3\times5\times7\times11\times...\times29=3234846615 > 10^9$ , протиріччя.

Однак навіть при цьому пряма груба сила все ще занадто повільна. У когось є якісь інші ідеї?

algorithms number-theory

— Вакака
джерело

Хто не може ?

g_{2} = 2

$g_2 = 2$

— фонбранд

g_{2} > g_{1} \geq 2

$g_2 > g_1 \ge 2$ . не може бути 1, оскільки 9-підмножина не може мати gcd 1.

g_{1}

$g_1$

— Wakaka

1

Ця проблема еквівалентна наступній, і побудувати скорочення можна обома способами.

Давши список бітових векторів, знайдіть їх мінімальну кількість таким, щоб andусі вони привели до бітового вектора. $0$ $(*)$

Потім показуємо, що кришка набору зменшується до . Під кришкою набору я маю на увазі, задавши список множин , знайти мінімальну кількість наборів, що охоплює їх об'єднання. $(*)$ $S_1,\ldots,S_k$

Ми замовляємо елементи у величезних кількостях бути . Нехай , де якщо , 0 в іншому випадку. Зауважте, що ця функція є біекцією, тому вона має обернену. $a_1,\ldots,a_n$ $f(S) = (1-\chi_{a_1}(S),\ldots,1-\chi_{a_n}(S))$ $\chi_x(S) = 1$ $x\in S$

Тепер, якщо ми розв’яжемо на , а розв’язки - , тоді $(*)$ $f(S_1),\ldots,f(S_k)$ $\{ f(S_{b_1}),\ldots,f(S_{b_m})\}$ $\{ f^{-1}(S_{b_1}),\ldots,f^{-1}(S_{b_m})\}$ - це рішення встановити кришку.

Тому я думаю, що ця проблема - це тестування здатності обрізати пошуковий простір.

— Чао Сюй
джерело

Як ви знаходите мінімальну кришку вершини?

— Yuval Filmus

о, nvm це рішення, замість нього встановлено кришку.

— Чао Сю

1

Це правда, але я думаю, можливо, ми можемо використати певні властивості цього особливого випадку. Наприклад, у цьому випадку множини дуже величезні, розміри не менше

. Насправді, якби всі набори були невеликими, їх розміри були б ще більшими. Крім того, ми можемо знайти 9 комплектів, які охоплюють все. У будь-якому випадку, як ви пропонуєте я обрізати простір пошуку?

n - 9

$n-9$

— Вакака

Я не бачу, наскільки проблема (*) еквівалентна тій, що задана у питанні. З одного боку, проблема, задана у питанні, обіцяє, що всі цілі числа будуть

, що відповідає гарантії щодо ваг бітових векторів, які не відображаються в задачі (*).

\leq 10^{9}

$\le 10^9$

— DW

1

Вирішити це можна досить ефективно, обчислюючи всі парні gcd, видаляючи дублікати, а потім повторюючи. Цей акт видалення дублікатів перед повторним повторенням робить його ефективним.

Я поясню алгоритм більш докладно нижче, але спочатку він допомагає визначити двійковий оператор . Якщо - множини натуральних чисел, визначте $\otimes$ $S,T$

S \otimes T = {gcd (s, t) : s \in S, t \in T} .

$S \otimes T = \{\gcd(s,t) : s \in S, t \in T\}.$

Зауважте, що та (у вашій проблемі); як правило, буде ще меншим, ніж будь-який із запропонованих меж, що допомагає зробити алгоритм ефективним. Також зазначимо, що ми можемо обчислити допомогою операції gcd шляхом простого перерахування. $|S \otimes T| \le |S| \times |T|$ $|S \otimes T| \le 10^9$ $S \otimes T$ $S \otimes T$ $|S| \times |T|$

З цим позначенням, ось алгоритм. Нехай - вхідний набір чисел. Обчисліть , потім , потім тощо. Знайдіть найменший такий, що але . Тоді ви знаєте, що розмір найменшого такого підмножини дорівнює $S_1$ $S_2 = S_1 \otimes S_1$ $S_3 = S_1 \otimes S_2$ $S_4 = S_1 \otimes S_3$ $k$ $1 \in S_k$ $1 \notin S_{k-1}$ $k$ . Якщо ви також хочете вивести конкретний приклад такого підмножини, зберігаючи вказівники, ви можете легко реконструювати такий набір.

Це буде відносно ефективно, оскільки жоден з проміжних наборів не збільшується в розмірі вище (насправді, їх розмір, ймовірно, буде набагато меншим за цей), а час роботи вимагає приблизно операції gcd. $10^9$ $500 \times (|S_1| + |S_2| + \cdots)$

Ось оптимізація, яка може ще більше підвищити ефективність. В основному, ви можете використовувати ітераційне подвоєння, щоб знайти найменший такий, що . Зокрема, для кожного елемента ми відслідковуємо найменший підмножину , gcd якого та розмір якого . (Видаляючи дублікати, ви вирішуєте зв'язки на користь меншої підмножини.) Тепер, а не обчислюйте послідовність дев'яти наборів $k$ $1 \in S_k$ $x \in S_i$ $S_1$ $x$ $\le i$ , замість цього обчислюємо послідовність п’яти множин , обчислюючи , потім , потім , тоді $S_1,S_2,S_3,S_4,\dots,S_9$ $S_1,S_2,S_4,S_8,S_9$ $S_2 = S_1 \otimes S_1$ $S_4 = S_2 \otimes S_2$ $S_8 = S_4 \otimes S_4$ $S_9 = S_1 \times S_8$ . Під час руху знайдіть перший таким, що . Як тільки ви знайдете таким, що , ви можете негайно зупинитися: ви можете знайти найменший підмножина, gcd якого , переглянувши підмножину, пов'язану з . Отже, ви можете зупинитися, як тільки досягнете множини таким, що , що дозволяє зупинитися рано, якщо ви знайдете менший підмножина. $k \in [1,2,4,8,9]$ $1 \in S_k$ $k$ $1 \in S_k$ $1$ $1$ $S_k$ $1 \in S_k$

Це має бути економічно ефективним та просторовим. Щоб заощадити простір, для кожного елемента вам не потрібно зберігати весь набір: достатньо для зберігання двох опорних покажчиків (щоб два елементи які ви взяли gcd, отримали ) і необов'язково розмір відповідного підмножини. $x \in S_k$ $S_i,S_j$ $x$

В принципі, ви можете замінити послідовність будь-яким іншим ланцюгом додавання . Я не знаю, чи буде якийсь інший ланцюжок додавання кращим. Оптимальний вибір може залежати від розподілу правильних відповідей та очікуваних розмірів множин , що мені не зрозуміло, але, ймовірно, може бути отримане емпіричним шляхом шляхом експерименту. $[1,2,4,8,9]$ $S_k$

Подяки: Дякую KWillets за ідею зберігати підмножину чисел разом з кожним елементом , що дозволяє зупинятись на ранніх термінах . $S_i$

— DW
джерело

Я вважаю, що бінарний пошук не потрібен; ви можете зберігати кількість елементів при кожному gcd і встановлювати його на мінімальну суму пари під час кожного подвоєння.

— KWillets

Чудова точка, @KWillets! Дякую за прекрасну ідею! Я включив це у свою відповідь.

— DW

0

Можливо, швидше дивитись на це по-іншому ... найбільший розкіш менше, ніж - 31607, загальна кількість 3401 прайс між 2 і 31607, не дуже велика кількість. Запишіть кожне з чисел, які ви отримали повністю з урахуванням простих чисел до 31607: Тутдорівнює 1 або великому простому. Тоді набірs є відносно простим, якщо відповіднівекторилінійно незалежні (а їхs різні або обидва 1), і ви шукаєтерангматриці. $\sqrt{10^9}$

a_{i} = p_{1}^{n_{i 1}} p_{2}^{n_{i 2}} \dots P_{i}

$a_i = p_1^{n_{i 1}} p_2^{n_{i 2}} \ldots P_i$

P_{i}

$P_i$

a_{i}

$a_i$

n_{i j}

$n_{i j}$

P

$P$

— фонбранд
джерело

Який зв’язок з лінійною незалежністю? Вектори

і

лінійно незалежні, але GCD дорівнює

поки ми хочемо

.

(1, 1)

$(1,1)$

(1, 0)

$(1,0)$

(1, 0)

$(1,0)$

(0, 0)

$(0,0)$

— Yuval Filmus

1

Лінійна незалежність, здається, не працює, але ми можемо використати це основне розкладання по-іншому. Для кожного простого

(серед

's та щонайменше

' s) визначте множину

як сукупність усіх чисел (серед даного набору), у яких

не є коефіцієнтом. Тепер проблема полягає в пошуку найменшого підмножини

чисел, таких, що для кожного

,

. Це проблема встановлення натискань, еквівалентна проблемі кришки. Це

p

$p$

3401

$3401$

p_{i}

$p_i$

500

$500$

P_{i}

$P_i$

A_{p}

$A_p$

p

$p$

B

$B$

A_{p}

$A_p$

| A_{p} \cap B | \geq 1

$|A_p \cap B| \geq 1$

N P

$NP$ -комплект, але можливо, що деякі реалізації досить швидко для цього розміру.

— polkjh

Не могли б ви спрямувати мене на деякі реалізації, які могли б працювати? Поки що я можу знайти лише алгоритми наближення. Дякую!

— Вакака

У цьому оглядовому документі розглядаються як приблизні, так і точні рішення. А коли ви відповідаєте на коментар, додайте до коментаря @ ім’я особи. Він надішле повідомлення цій особі. Інакше вони ніколи навіть не дізнаються про ваш коментар.

— polkjh

-1

Якщо ви зможете знайти підмножину з gcd (S) = 1, я завжди можу видалити зайві елементи з підмножини, поки залишиться лише два елементи, у яких gcd (S) = 1. Тому я можу стверджувати, що або найменший підмножина буде містити 2 елементи або вона не буде існувати.

Тепер ми використовуємо рекурсію для вирішення цієї проблеми. Ділимо масив чисел на 2 частини, одну з n-1 елементами та одну з 1 елементом (останній елемент). Або два числа будуть в перших n-1 елементах, або один елемент буде з першої частини, сполученої з останнім елементом. Тому ми можемо вирішити цю проблему в Росії

T (n) = T (n-1) + O (n) час. що означає T (n) = O (n ^ 2).

— Пратік
джерело

4

gcd (6, 10, 15) = 1

$\gcd(6,10,15)=1$