Кількість циклів гамільтонів на графіку Сєрпіньського

Я новачок на цьому форумі і просто фізик, який робить це, щоб підтримувати свій мозок у формі, тому, будь ласка, проявіть благодать, якщо я не використовую найелегантнішу мову. Також залиште коментар, якщо ви вважаєте, що інші теги були б більш доречними.

Я намагаюся вирішити цю проблему, для якої мені потрібно обчислити кількість гамільтонових циклів $C(n)$ у $n$ му порядку Сірпінського-графіка $S_n$ . (Будь ласка, дивіться також вищезазначене посилання для визначення та зображень Сєрпінських-графіків)

Я знайшов $C(n)$ , але, мабуть, щось зіпсував, тому що мій розв'язок не відповідає заданому значенню $C(5) = 71328803586048$ . Моя аргументація складається з дуже основних думок, і я не можу знайти помилку. Будь-яка допомога дуже вдячна. Навіть якщо це здається тривалим, думки стають тривіальними, якщо дивитись на графіки під час наступного.

(А) У даному графі $S_n$ називають зовнішні кутами , В , С . Тоді я визначаю такі кількості:$A,B,C$

кількість гамільтонових шляхів від A до C .$N(n) :=$$A$$C$

число шляхів відAдоCякі відвідують кожен вузол один развиняткомB.$\bar{N}(n) :=$$A$$C$$B$

Я також називатиму такі контури - або ˉ N- контури у наступному.$N$$\bar{N}$

(б) Неважко помітити, що .$N(n)=\bar{N}(n)$

Причина полягає в наступному: Розглянемо шлях типу. Починаючи з А цей шлях має вигляд ( А , . . . , Х 1 , В , Х 2 , . . . , З ) . Шляхом заміни сегмента ( Х 1 , B , X 2 ) по ( Х 1 , Х 2 ) , отримаємо ˉ N -типу шлях. Ця операція унікально відображає всі $N$$A$$(A,...,X_1,B,X_2,...,C)$$(X_1,B,X_2)$$(X_1,X_2)$$\bar{N}$$N$-типи шляхів до шляхів типу.$\bar{N}$

(c) Отримуємо рекурсію .$N(n+1)=2N(n)^3$

Розглянемо -типу шлях від A до B і позначають подтреугольніков на зовнішніх кутах , B , C на T A , T B , T C , відповідно. Ясно , що Н - типу шлях буде відвідувати кожен подтреугольніка рівно один раз , починаючи з T A над T B до T C . Тепер розглянемо вузол Z, у якому піддвікутники T A і T $N$$A$$B$$A,B,C$$T_A,T_B,T_C$$N$$T_A$$T_B$$T_C$$Z$$T_A$$T_C$дотик. Є два варіанти, коли ця точка відвідують шляху, або (I) , перш ніж покинути або (II) після введення T C . У цих випадках три підпутника всередині T A , T B , T C мають типи (i) N , N , ˉ N або (ii) ˉ N , N , N відповідно. Зважаючи на це, ми можемо порахувати$T_A$$T_C$$T_A,T_B,T_C$ $N,N,\bar{N}$ $\bar{N},N,N$

і з(b)приходимо до верхньої рекурсії.$N(n+1)=N(n)N(n)\bar{N}(n)+\bar{N}(n)N(n)N(n)$

(г) Розв’яжемо рекурсію (с) з і отримаємо N ( n ) = 2 3 0 + 3 1 + . . . + 3 п - 2 .$N(1)=1$$N(n)=2^{3^0+3^1+...+3^{n-2}}$

(е) Розгляньте цикл Гамільтонів у графі . Оскільки кожен з трьох піддрібників з'єднаний з іншими лише через два вузли, зрозуміло, що цикл буде входити в кожний підрядок рівно один раз через один з'єднувальний вузол, а потім "заповнювати" його, остаточно залишати через інший з'єднувальний вузол. Отже, цикл Гамільтонів у S n складається з трьох підтипів N- типу в підтрикутниках, які мають структуру S n - 1 . Можна зробити висновок про кількість гамільтонових циклів$S_n$$S_n$$N$$S_{n-1}$

.$C(n) = N(n-1)^3$

Однак для n = 5 випливає$n=5$

$C(5) = N(4)^3 = 8192^3=549755813888 \neq 71328803586048$

де останню слід отримати відповідно до проблемної сторінки (посилання вище).

Ще раз дякую за будь-яку допомогу чи коментарі.

Хороша ідея! Здається, проблема полягає у кроці . Заміна ( Х 1 , В , Х 2 ) в N -path від ( X 1 , Х 2 ) дає ˉ N -path, але не кожен ˉ N -path буде містити ( Х 1 , Х 2 ) . Тож це не біекція. Це говорить лише N ( n ) ≤ ˉ N ( n ) .$(b)$$(X_1,B,X_2)$$N$$(X_1,X_2)$$\bar{N}$$\bar{N}$$(X_1,X_2)$$N(n) \leq \bar{N}(n)$

Or you can in fact show that $\bar{N}(n) = 3N(n)/2$, resulting in $N(n+1) = 3N^3$.