Чи виявлення «подвійних» арифметичних прогресій 3SUM-жорстке?

Нам дається масив цілих чисел і ми повинні визначити, чи є чіткі такі, що $a_1, \dots, a_n$ $i \lt j \lt k$

$a_k - a_j = a_j - a_i$
$k - j = j - i$

тобто послідовності і обидва знаходяться в арифметичній прогресії. $\{a_i, a_j, a_k\}$ $\{i,j,k\}$

Для цього існує простий алгоритм , але пошук підквадратичного алгоритму видається невловимим. $O(n^2)$

Це відома проблема? Чи можемо ми довести 3SUM-твердість цього? (чи, можливо, надати підквадратичний алгоритм?)

Якщо вам подобається, ви можете припустити і що для деякої відомої постійної . (У проблемі інтерв'ю, ). $0 \lt a_1 \lt a_2 \lt ... \lt a_n$ $a_{r+1} - a_{r} \le K$ $K > 2$ $K = 9$

algorithms complexity-theory lower-bounds

— Кноте
джерело

Це відкрита проблема.

Можливо, деяку слабку форму твердості 3SUM можна було б довести, пристосувавши результат статті "STOC 2010" Михайла Патрашку " До нижньої межі полінома для динамічних проблем ". По-перше, дозвольте мені визначити послідовність тісно пов'язаних проблем. Вхід до кожної задачі є відсортованим масивом різних цілих чисел. $A[1..n]$

3SUM: Чи існують окремі індекси такі, що ? $i,j,k$ $A[i] + A[j] = A[k]$
$i<j$ $A[i] + A[j] = A[i+j]$
$i,j,k$ $A[i] + A[j] = 2 A[k]$
$i<j$ $A[i] + A[j] = 2A[(i+j)/2]$

$\Omega(n^2)$ $\alpha A[i] + \beta A[j] + \gamma A[k] + \delta$ $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ $A[i] + A[j]$ $A[k]$ $\Omega(n^2)$

$\Omega(n^2/f(n))$ $f$ $\Omega(n^2/f^2(n\cdot f(n)))$ $O(n^{1.8})$ $O(n^{1.9})$

$\Omega(n^2/f(n))$ $f$ $\Omega(n^2/f^2(n\cdot f(n)))$

$\Omega(n^2)$ $\Omega(n^2)$

$K$ $O(n \log n)$

$B[0..Kn]$ $B[i]=1$ $A[1]+i$ $A$ $B$ $O(Kn\log Kn) = O(n\log n)$ $j$ $A$ $2A[1] + j$ $A[i]+A[j]$ $O(n)$ $O(n)$

Але я не знаю подібного трюку для Convolution3SUM або ConvolutionAverage!

— JeffE
джерело