Інтуїція за власними значеннями матриці суміжності

В даний час я працюю над тим, щоб зрозуміти використання зв'язаного Чегера та нерівність Чегера та їх використання для спектрального розподілу, провідності, розширення тощо, але я все ще намагаюся створити початок інтуїції щодо другого власного значення матриці суміжності.
Зазвичай у теорії графіків більшість понять, до яких ми стикаємось, досить прості для інтуїції, але в цьому випадку я навіть не можу придумати, який тип графіків мав би, щоб друге власне значення було дуже низьким або дуже високим.
Я читав подібні запитання, задані тут і там у мережі SE, але вони зазвичай посилаються на власні значення у різних областях ( багатофакторний аналіз , евклідові дистанційні матриці , кореляційні матриці ...).
Але нічого про спектральне розподіл та теорію графів.

Чи може хтось спробувати поділитися своєю інтуїцією / досвідом цього другого власного значення у випадку графіків та матриць суміжності?

Друга (за величиною) власна величина керує швидкістю зближення випадкової ходи на графіку. Це пояснюється в багатьох конспектах лекцій, наприклад, конспект лекцій Лука Тревісана . Грубо кажучи, відстань L2 до рівномірності після кроків може бути обмежена .$t$$\lambda_2^t$

Ще одне місце, де з’являється друге власне значення, - це насаджена проблема кліку . Вихідним моментом є спостереження, що випадковий графік містить кліку розміром , але жадібний алгоритм знаходить лише кліку розміром , і не існує кращого ефективного алгоритму. (Жадібний алгоритм просто вибирає випадковий вузол, викидає всіх не сусідів і повторює.)$G(n,1/2)$$2\log_2 n$$\log_2 n$

Це говорить про те, щоб посадити велику кліку поверх . Питання: наскільки великою повинна бути кліка, щоб ми могли її ефективно знайти. Якщо ми посадимо кліку розміром , то ми могли б ідентифікувати вершини кліки саме за їх ступенем; але цей метод працює лише для кліків розміру . Ми можемо покращити це за допомогою спектральних методик: якщо ми посадимо кліку розміром , то другий власний вектор кодує кліку, як показали Алон, Кривелевич та Судаков у класичному документі.$G(n,1/2)$$C\sqrt{n\log n}$$\Omega(\sqrt{n\log n})$$C\sqrt{n}$

Більш загально, перші кілька власних векторів корисні для розподілу графіка на невелику кількість кластерів. Дивіться, наприклад, Розділ 3 лекцій Луки Тревісана , де описані нерівності Чегера вищого порядку.

(Відмова: Ця відповідь стосується власних значень графіків взагалі, а не другого власного значення зокрема. Я сподіваюся, що це все-таки корисно.)

Цікавим способом мислення щодо власних значень графа є взяття векторного простору деі ідентифікація кожного вектора з функцією (тобто маркування вершин). Таким чином, власний вектор матриці суміжності є елементом таким, що є (тобто власне значення) з , є матрицею суміжності . Зауважимо, що - вектор, пов'язаний з картою, що надсилає кожну вершину до$G = (V, E)$$\mathbb{R}^n$$n = |V|$$f\colon V \to \mathbb{R}$$f \in \mathbb{R}^n$$\lambda \in \mathbb{R}$$A f = \lambda f$$A$$G$$A f$$v \in V$$\sum_{u \in N(v)} f(u)$, - сукупність сусідів (тобто вершин, що примикають до) . Отже, у цій настройці властивість власного вектора відповідає тій властивості, що підсумовування значень функції (під ) сусідів вершини дає такий самий результат, як множення значення функції вершини на постійну .$N(v)$$u$$f$$f$$\lambda$

Я думаю, що для більшості речей більш продуктивно дивитися на лаплаціанського графіка $G$, яка тісно пов'язана з матрицею суміжності. Тут ви можете використовувати його для відновлення другого власного значення до властивості графіка "локальний проти глобального".

Для простоти припустимо, що $G$ є $d$-регулярний. Тоді нормалізований лаплакійський о$G$ є $L= I - \frac1d A$, де $I$ є $n\times n$ особу та $A$є матрицею суміжності. Найприємніше у лапласіанців - це те, що писати вектори як функції$f: V\to \mathbb{R}$ як @dkaeae, і використання $\langle \cdot, \cdot \rangle$ для звичайного внутрішнього продукту у нас є цей дуже приємний вираз для квадратичної форми, заданої $L$:

$$\langle f, Lf\rangle = \frac{1}{d} \sum_{(u,v) \in E}{(f(u) - f(v))^2}.$$

Найбільше власне значення Росії $A$ є $d$, і відповідає найменшому власного значення $L$, який $0$; друге за величиною власне значення$\lambda_2$ з $A$ відповідає другому найменшому власного значення $L$, який $1 - \frac{\lambda_2}{d}$. За принципом min-max ми маємо

$$1 - \frac{\lambda_2}{d}=\min\left\{\frac{\langle f, Lf\rangle}{\langle f, f\rangle}:\sum_{v \in V}{f(v)} = 0, f \neq 0\right\}.$$

Зауважте, що не змінюється, коли ми зміщуємо на однакову константу для кожної вершини. Отже, рівно, ви можете визначити для будь-якого функцію "по центру" за і запишіть$\langle f, Lf\rangle$$f$$f:V \to \mathbb{R}$$f_0$$f_0(u) = f(u) - \frac{1}{n}\sum_{v \in V}{f(v)}$

$$1 - \frac{\lambda_2}{d}=\min\left\{\frac{\langle f, Lf\rangle}{\langle f_0, f_0\rangle}: f \text{ not constant}\right\}.$$

Тепер трохи обчислення показує, що , замінивши вище і діливши чисельник і знаменник на , маємо$\langle f_0, f_0\rangle = \frac{1}{n}\sum_{\{u,v\}\in {V\choose 2}}{(f(u) - f(v))^2}$$\frac{n}{2}$

$$1 - \frac{\lambda_2}{d}=\min\left\{\frac{\frac{2}{nd} \sum_{(u,v) \in E}{(f(u) - f(v))^2}}{\frac{2}{n^2}\sum_{\{u,v\}\in {V\choose 2}}{(f(u) - f(v))^2}}: f \text{ not constant}\right\}.$$

Що це означає, що, якщо ми поміщаємо кожну вершину з на дійсній прямій в точці , то середня відстань між двома незалежними випадковими вершинами в графі (знаменник) в основному перевищує середню відстань між кінцевими точками випадкового ребра на графіку (чисельник). Отже, у цьому сенсі великий спектральний проміжок означає, що те, що відбувається через випадковий край (локальна поведінка), є хорошим прогнозувачем того, що відбувається через випадкову некорельовану пару вершин (глобальна поведінка).$u$$G$$f(u)$$\frac{d}{d - \lambda_2}$$G$