Чи завершено НП «Хідоку»?

Гідоку - це сітка $n \times n$ з деякими попередньо заповненими цілими числами від 1 до $n^2$ . Мета - знайти шлях послідовних цілих чисел (від 1 до $n^2$ ) у сітці. Більш конкретно, кожна комірка сітки повинна містити різне ціле число від 1 до $n^2$ а кожна комірка зі значенням $z ≠ n^{2}$ повинна мати сусідню комірку зі значенням $z + 1$ (також може бути діагонально).

Чи важко визначити NP, чи вирішується даний гідоку? Яке зменшення можна використати?

Редагувати: згідно з коментарями, даю невелике уточнення. Дана сітка комірок, деякі з них уже містять значення (цілі числа від 1 до n²). Ми повинні заповнити всі осередки, що залишилися цілими числами від 1 до $n^2$ , так що жодна дві комірки не мають однакового значення і що кожна комірка зі значенням має сусід зі значенням . Тобто, заповнивши комірки, ми повинні знайти шлях . У сітці, яка логічно відвідує кожну клітинку. z + 1 1 , 2 , 3 , ⋯ , n $z ≠ n²$$z + 1$$1, 2, 3,\cdots, n^2$

Прикладом хідоку може бути http://www.janko.at/Raetsel/Hidoku/018.c.gif . Вже вирішений Hidoku - це http://diepresse.com/images/uploads/3/f/7/586743/spectrumsommerraetsel_7august_hidoku_schwer_loesung20100810172340.gif , де ви можете побачити шлях, яким я ходив.

Я думаю, що це -комплект: як зауважив Рафаель, цикл Гамільтонів на сітчастих графах із дірками проблема є NP-повною ( Алон Ітай, Крістос Х. Пападімітріу, Джейм Луїз Шварцфітер: Гамільтонові шляхи в графіках сітки. SIAM J. Comput. 11 (4): 676-686 (1982) ).$\sf{NP}$

Отож, задавши сітчастий графік з отворами, ви можете легко побудувати еквівалентну гру Hidoku, де початкові фіксовані клітинки заповнюють усі парні діагоналі; порожні непарні діагоналі утворюють непрямий графік, еквівалентний початковому графу сітки G, а в гідоку є рішення, якщо і лише тоді, коли вихідний графік сітки має гамільтонів шлях.$G$$G$

Рисунок 1: сітчастий графік з отворами та еквівалентною головоломкою Хідоку (сині клітини представляють початкові фіксовані пронумеровані клітини ( 1 - перша, 144 - остання), білі клітини - клітини, які повинен заповнити гравець, фіолетова лінія позначає послідовність початкових фіксованих пронумерованих комірок).$12 \times 12$$1$$144$

Допоміжні (заповнені) лінії можна додати до нижньої або правої сторони, щоб зробити його квадратом.

Ще один приклад скорочення від сітчастого графіка до головоломки Хідоку: графік сітки 6x4 вбудований у більшу сітку 13х13; парні діагоналі заповнені фіксованими числами, а решта вільних комірок еквівалентні початковому графіку сітки.

Повну картинку з трансформацією можна завантажити тут .

Деякі додаткові замітки для завершення відповіді:

• проблема також відома як Hidato ; дошка може мати довільну форму (але як узагальнення квадратного випадку вона залишається NP-жорсткою);

• як правильно свідчить Стівен Стадницький у своїй відповіді, не очевидно, що проблема полягає в NP, якщо початкова частково заповнена сітка не задана як масив цілих чисел, але подається в деякому стислому поданні; однак чітко в NP є, якщо початкова дошка подається з використанням розумного списку представлення цілих чисел;$n \times n$

• Я думаю, що оригінальні правила гри говорять про те, що рішення повинно бути унікальним ; тому проблема полягає в США (важко для США), і навряд чи буде в NP.

Підводячи підсумок, якщо ми скасуємо унікальне обмеження рішення та вкажемо початкову дошку зі списком цілих чисел, гра буде N P -повною.$n^2$$\sf{NP}$

$n\times n$$\Omega(n)$$n$$\lg n$ кажучи, що комірка з координатами$(x_i, y_i, w_i): x_i, y_i\leq n, w_i\leq n^2$$(x_i, y_i)$$w_i$$\lg n + \lg n + \lg n^2 = 4\lg n\in O(\lg n)$$\Omega(n)$$o(n)$

$\Omega(n)$

(Для обговорення схожих питань дивіться моє запитання про складність короткого Нурикабе на сайті cstheory.SE.)