Яка складність (можливо, лаконічного) Нурікабе?

Nurikabe - це головоломка, заповнена сіткою, обмежена схожою на Міночистач / Нонограми; номери розміщуються на сітці, яку слід заповнити значеннями включення / вимкнення для кожної комірки, причому кожне число вказує область з’єднаних комірок "on" такого розміру, а також деякі незначні обмеження на область "off" комірок (це повинні бути підключені та не можуть містити жодних суміжних 2х2 областей). На сторінці Вікіпедії є більш чіткі правила та зразки загадок.

Загалом, головоломки подібного роду мають тенденцію до завершення NP, і Нурікабе не є винятком; вони потрапляють у НП, оскільки саме рішення служить (поліноміально перевіреним) свідком проблеми. Але на відміну від більшості подібних головоломок, екземпляри Nurikabe можуть бути стислими. Судоку в сітці вимагає розв’язування Θ ( n ) (якщо пропонується менше n - 1 подач, то немає можливості розрізнити пропущені символи) , Нонограми, очевидно, вимагають принаймні одного, вказаного для кожного рядка чи стовпця, а тральщик повинен мати принаймні $n\times n$$\Theta(n)$$n-1$ клітинок або там будуть клітини не поруч із заданими (і статус яких тому неможливо визначити). Але хоча дати головоломки Nurikabe повиннідорівнювати Θ(n2), можливо, щоO(1) даєкожний розмір, так щоΘ(log(n))бітів може бути достатньо, щоб вказати головоломку Nurikabe розміруn- або інвертування,kбітів може бути достатньо, щоб вказати екземпляр Nurikabe експоненціалу розміру вk, тобто єдиною гарантією є те, що проблема полягає в NEXP.$1\over16$$\Theta(n^2)$$\mathrm{O}(1)$$\Theta(\log(n))$$n$$k$$k$

На жаль, для доказів твердості Нурікабе я знайшов усі конструкції, що використовують задані постійні розміри, тому їх екземпляри є поліноміальними за розміром сітки, а не логарифмічними, і я не можу виключити, що всі вирішальні 'лаконічні "Загадки Nurikabe мають додаткову структуру, щоб рішення можна було описати і перевірити так само швидко; наприклад, один із відомих мені прикладів головоломки з 2 графіками розміру Θ ( n 2 ) веде до регіонів клітинок як увімкнення, так і вимкнення, які є об'єднанням O ( 1 $\Theta(n^2)$$\Theta(n^2)$$\mathrm{O}(1)$прямокутники, і так мають короткий власний опис. Хтось знає про додаткові дослідження, які були зроблені у цій загадці поза базовим результатом повноти NP, і, зокрема, будь-які подальші складності для можливих випадків?

(зауважте: спочатку це запитували на math.SE , але відповіді ще не було, і це здається належним чином для цього веб-сайту)

Здається, ви насправді запитуєте: чи Nurikabe в НП?

Nurikabe є важким для NP, оскільки можна створити гаджети розміру в поліномі, які можна використовувати для зменшення повної NP-проблеми до проблеми рішення Nurikabe. Це те, що роблять Хольцер, Клайн та Кутріб, а також МакФейл та Фікс у своєму плакаті (про це посилається у статті Вікіпедії).

Обидві групи авторів припускають, що проблема тривіально в НП, і хвилюють питання про членство. Ваша занепокоєння щодо стислих випадків здається на місці - я не вірю, що проблема в НП. Розглянемо наступний спосіб формалізації проблеми рішення:

BINARY NURIKABE
Введення: цілі числа m і n у двійковій формі, що представляють собою плату Nurikabe, і список трійки, кожна із яких вказує позицію на дошці та додатне ціле число, записане в цій позиції.
Запитання: чи можуть бути залишені позиції дошки кольоровими двома кольорами з дотриманням обмежень Nurikabe?

$m$$n$$mn$

$(m-2)(n-2)$$m \times n$$mn-1$$\Theta(\log\, m + \log\, n)$

Тоді ваше запитання стає таким: чи існують сертифікати розміру полінома для всіх бінарних екземплярів Nurikabe, які можна перевірити в поліноміальний час?

Мені не очевидно, що такі сертифікати обов’язково існують. Не очевидно, як можна було б довести, що лаконічні, швидко перевіряються сертифікати не можуть існувати.

Однак, обмеження на унікальні рішення означає, що проблема насправді є твердою в США , настільки складною, а тому навряд чи буде в НП. Справа в тому, що якщо «вважати, що« має унікальне рішення »як обмеження Нурикабе (на відміну від бажаної особливості випадків, які представлені людям), то це недостатньо, щоб продемонструвати, що рішення є, але треба також продемонструвати, що ніяких інших рішень неможливо. Тоді цієї вимоги цілком достатньо для того, щоб проблема, ймовірно, не була в НП. Це справедливо навіть для одинарної версії проблеми.

Підсумовуючи це: якщо ви можете зменшити вимогу унікальних рішень і вказати розмір плати в одинаковому режимі, то проблема вирішення полягає в NP; з неповторними рішеннями та розміром бінарної плати незрозуміло, чи є проблема вирішення в NP; і за допомогою унікальних рішень проблема вирішення є важкою для США і тому навряд чи буде в NP для будь-якого кодування розміру плати.