Складність обчислювальних матричних потужностей

Я зацікавлений в обчисленні «-й потужності матриця . Припустимо, у нас є алгоритм множення матриць, який працює в час. Тоді можна легко обчислити за часом . Чи можна вирішити цю проблему в меншій часовій складності? $n$ $n\times n$ $A$ $\mathcal{O}(M(n))$ $A^n$ $\mathcal{O}(M(n)\log(n))$

Записи матриці, як правило, можуть бути з семірінгу, але ви можете припустити додаткову структуру, якщо це допоможе.

Примітка. Я розумію, що загалом обчислення $A^m$ в час дало б алгоритм для експоненції. Але, ряд цікавих задач зводиться до особливого випадку експозиції матриці, де m = , і я не зміг довести те саме щодо цієї простішої проблеми. $o(M(n)\log(m))$ $o(\log m)$ $\mathcal O(n)$

— Шитікант
джерело

які записи матриці? Цілі?

— Каве

Записи, як правило, можуть бути з семірінгу, але ви можете припустити додаткову структуру, якщо це допоможе.

— Шитікант

Я не міг отримати скорочення від мультиплікації до квадратування від запропонованого вище методу (тобто, використовуючи

). Однак використання

працює. Однак це дає лише

при обчисленні

(A \pm B)^{2}

$(A\pm B)^2$

{(\begin{array}{cc} 0 & A \\ B & 0 \end{array})}^{2}

$\left( \begin{array}{cc} 0 & A \\ B & 0 \end{array} \right)^2$

Ω (M (n))

$\Omega(M(n))$

A^{n}

$A^n$

— Shitikanth

Відповіді:

Якщо матриця діагоналізіруеми потім приймає - й потужності може бути зроблено в час , де час , щоб діагоналізовать . $n$

О (D (н) + н журнал н)

$O(D(n)+ n\log n)$

D (n)

$D(n)$

A

$A$

Просто для завершення деталей, якщо з діагоналлю , то $A=P^{-1}DP$ $D$

А^{н} = (П^{- 1} D П)^{н} = П^{- 1} D^{н} П

$A^n = (P^{-1}DP)^n = P^{-1}D^nP$

$D^n$ $A$ $n$

— Ран Г.
джерело

O (n^{3})

$O(n^3)$

O (n^{2.3727} \log (m))

$O(n^{2.3727}\log(m))$

A^{m}

$A^m$

(1) Час, який ви цитуєте, не є Копперсмітом-Виноградом (як ви, напевно, знаєте). (2) Усі алгоритми такої форми працюють лише для кілець; вони не працюють для загальних піврічок (як ви допускаєте у своєму запитанні).

— Райан Вільямс

$n\times n$ $A$ $A=U\Sigma U^T$ $\Sigma$ $O(n^3)$ $A^m = U \Sigma^m U^T$ $O(n\log m)$ $U \times \Sigma^m \times U^T$ $O(n^{2.3727})$ $O(n^3 + n \log m)$

$O(n^{2.3727}+n \log m)$ $o(M(n)\log(m))$ $o(\log n)$

— ПКГ
джерело

O (n^{2.3727})

$O(n^{2.3727})$

O (n^{2.3727} \log (m))

$O(n^{2.3727}\log(m))$

A^{m}

$A^m$

m = O (n)

$m=O(n)$

A = U Σ U^{⊤}

$A = U \Sigma U^\top$

V \neq U^{⊤}

$V \ne U^\top$

n

$n$

m

$m$

n = 1

$n=1$

O (M (1) \log m

$O(M(1)\log m$

A^{m}

$A^m$

\log m

$\log m$

Як було сказано, це було незрозуміло з вашого запитання.

— ПКГ