Як практично побудувати графіки регулярного розширення?

Мені потрібно побудувати графік d-регулярного розширювача для деяких невеликих фіксованих d (як 3 або 4) з n вершин.

Який найпростіший метод зробити це на практиці? Побудова випадкового d-регулярного графіка, який виявився розширювачем?

Я також читав про конструкції Маргуліса та графіки Рамануджана, які є розширювачами та конструкції з використанням продукту зигзагу. Вікіпедія дає хороший, але дуже короткий огляд: http://en.wikipedia.org/wiki/Expander_graph#cite_note-10 Але який метод я обираю на практиці?

Для мене ці методи здаються дуже складними у здійсненні, зокрема, для розуміння та, можливо, досить специфічними. Чи не є простіші методи, можливо, засновані на перестановках чи так, щоб практично генерувати послідовність графіків d-регулярних розширювачів?

Чи, можливо, простіше побудувати графіки d-регулярних двосторонніх розширювачів?

Також у мене є ще одне запитання: як щодо родин поганих розширень d-regular? Чи має таке поняття сенс? Чи можна побудувати сімейство d-регулярних графіків (які, звичайно, пов'язані), що є максимально поганим у розумінні розширювача?

Заздалегідь спасибі.

— користувач2145167
джерело

Існують простіші явні побудови, ніж ті, які ви перерахували, але випадкові графіки повинні робити хитрість і мати кращі параметри.

— Yuval Filmus

Чи можете ви назвати назви конструкцій? Під кращими параметрами ви маєте на увазі краще (крайове) розширення, я думаю?

— користувач2145167

Андраш подав приклад, про який я мав на увазі, але загалом випадкові графіки (майже завжди) кращі, ніж явні побудови. Мало того, що розширення ребер більше, будь-яке інше подібне властивість, яке корисне для вашого алгоритму, ймовірно, автоматично задовольняється випадковими графіками.

— Yuval Filmus

Добре, для ступеня 3, приклад Андраша або випадкові графіки здаються досить хорошими для мого застосування. Було б цікаво, зокрема щодо випадкових графіків, побудувати сімейство 3-reg графіків, яке не є розширювачем. Але це, мабуть, дуже важко чи неможливо?

— користувач2145167

Візьміть об’єднання

s. Якщо ви хочете підключити графік, видаліть по одному краю з кожного

(утворюючи графік, відомий як алмазний графік), і з'єднайте їх у циклі.

K_{4}

$K_4$

K_{4}

$K_4$

— Yuval Filmus

Відповіді:

Якщо ви не заперечуєте проти графіків з самооборотами, "найпростіший" сімейство розширювачів, мабуть, саме цей, даючи розширення, які є 3-регулярними.

Почніть з якогось простого числа , і побудуйте вершини, пронумеровані від до . Для кожної вершини підключіть до та , модуль . Також підключіть до унікальної вершини такою, що $p$ $0$ $p-1$ $u \ne 0$ $u$ $u-1$ $u+1$ $p$ $u$ $v$ . $uv \equiv 1 \mod p$

Наприклад, 7-вершинний графік у сім'ї - це 7-цикл із вершинами, пронумерованими послідовно навколо циклу; є самопіль на , і ; нарешті, є акорди, що поєднують та , та . $6$ $0$ $1$ $3$ $5$ $2$ $4$

Див. Https://mathoverflow.net/questions/124708/an-expander-graph для подальшого обговорення та посилань. Існує безліч більш детальних покажчиків шляхом пошуку на "розширювачі" на CSTheory , Math.SE та MO .

Як зазначає Юваль Філіус, випадкова побудова, ймовірно, дасть кращі результати в цілому, але, звичайно, може не дати розширювача (особливо для невеликих графіків).

— Андраш Саламон
джерело

Дякуємо за зауваження. Я раніше шукав розширювачі на інших сайтах, але не на MO, насправді результатів, здається, буде більше.

— користувач2145167

З огляду на випадковий звичайний графік є розширювачем whp (слідуйте посиланням, наведеним у документації коду MATLAB, зв'язаного нижче), я одного разу використовував таке:

http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/29786-random-regular-generator/content/randRegGraph/createRandRegGraph.m

— Хода
джерело