Приклад помилкового пропозиції при припущенні Тип: Тип

Якщо в теорії типів дозволяється типу бути членом самого себе, це робить цю теорію непослідовною. Я розумію це за аналогією з парадоксом Русселя в Теорії множин, але я вважаю за краще це робити в Теорії типів. Чи є короткий приклад еквівалента в Теорії типів?

Відповідна література така:

Тьєррі Кокванд Новий парадокс у теорії типів (посилання) . Він описує свій парадокс у системі, яка дещо слабша, ніж

Type : Type

Але це легко перенести до вищезазначеного. Основна ідея - це підтвердження Рейнольдса про відсутність моделей системи F в теорії множин. Це відбувається шляхом побудови початкової алгебри виду:

$$A\simeq (A \rightarrow \mathrm{2}) \rightarrow \mathrm{2}$$

Де - це набір з 2-ма елементами і походить протиріччя аргументом кардинальності. Кокванд показує$\mathrm{2}$

1. Ви можете здійснити це міркування у наведеній вище теорії типів
2. У цій теорії є модель системи F. Це дає протиріччя.

Друга стаття - від Антонія Хуркенса, і має назву Спрощення парадоксу Жирара (посилання) . Доведення передбачає побудову "типу всіх обґрунтованих типів". Треба визнати, що загальна ідея здається зрозумілою, але деталі є досить диявольськими.

Боюся, що у немає простого, легкого для розуміння суперечності . Однак доказові умови, отримані внаслідок суперечності, відносно простежуються: для їх визначення достатньо лише декількох рядків.$\mathrm{Type} : \mathrm{Type}$

Олександр Мікель у своїй дисертаційній дисертації показав, що можна побудувати модель теорії наївних множин у цих системах непослідовного типу, використовуючи загострену графічну інтерпретацію множин. Потім він може просто застосувати парадокс Русселя безпосередньо. На жаль, конструкція моделі потребує трохи роботи, а дисертація - французькою мовою.