Чому всі проблеми в FPTAS також у FPT?

Відповідно до статті Вікіпедії про схеми наближення полінома-часу :

Усі проблеми в FPTAS є фіксованими параметрами.

Цей результат мене дивує - ці заняття, здається, сильно відрізняються один від одного. FPTAS характеризує проблеми тим, наскільки їх легко наблизити, тоді як FPT характеризує проблеми за їх складністю щодо певного параметра. На жаль, Вікіпедія (на той час я задаю це питання) не дає жодних посилань на це.

Чи є стандартний доказ цього результату? Або є джерело, з яким я міг би порадитись, щоб дізнатися більше про цей зв'язок?

— templatetypedef
джерело

Це теорема Cai і Чен (JCSS97), заявивши , що « якщо завдання оптимізації NP має схему апроксимації повністю поліноміальний час, то фіксується параметричних поступливим. » Дивіться статтю на Fixed-Parameter зговірливість і апроксимується Н.П. Оптимізація Проблеми .

— Pål GD

І, звичайно, як наслідок ви отримуєте " Проблеми оптимізації NP, які -тверді при рівномірному скороченні, не мають повністю поліноміально-часової схеми наближення, якщо тільки $W[1]$ $W[1] = FPT$ ."

— Pål GD

@ PålGD - Хоча здається, що вибір параметризації дещо довільний; вони вибирають параметр як значення оптимального рішення для введення задачі. Я гадаю, що технічно це працює, хоча це інтелектуально не дуже повно.

— templatetypedef

Люк Матієсон дав дуже гарну відповідь нижче, і я думаю, що цього достатньо, щоб відповісти на ваше запитання.

— Pål GD

Насправді є більш сильний результат; Проблема полягає у класі якщо у нього є fptas ¹ : -приближення, що працює в обмежений часом (тобто многочлен як за розміром, так і за коефіцієнтом наближення). Є більш загальний клас який розслабляє час, пов'язаний з - по суті є -подібний час роботи щодо коефіцієнта наближення. $\mathrm{FPTAS}$ $\varepsilon$ $(n+\frac{1}{\varepsilon})^{\mathcal{O}(1)}$ $\mathrm{EPTAS}$ $f(\frac{1}{\varepsilon})\cdot n^{\mathcal{O}(1)}$ $\mathrm{FPT}$

Зрозуміло, що - це підмножина , і виявляється, що є підмножиною у такому значенні: $\mathrm{FPTAS}$ $\mathrm{EPTAS}$ $\mathrm{EPTAS}$ $\mathrm{FPT}$

Теорема Якщо проблема NPO має $\Pi$ ептас, то параметризується за вартістю рішення є фіксованим параметром. $\Pi$

Теорема і докази наведені у Флум і Грое [1] як теорема 1.32 (с. 23-24), і вони відносять її до Базгана [2], що ставить її за два роки до більш слабкого результату Каї та Чена (але у французькій мові технічний звіт).

Я дам ескіз доказу, бо вважаю, що це приємне доведення теореми. Для простоти я зроблю версію мінімізації, просто подумки виконую відповідні інверсії для максимізації.

Доказ. Нехай - eptas для , тоді ми можемо побудувати параметризований алгоритм for параметризований вартістю рішення таким чином: заданий вхід , запускаємо на вході де встановлюємо (тобто вибираємо відношення наближення, пов'язане ). Нехай - рішення, - вартість і - фактичне відношення наближення до $A$ $\Pi$ $A'$ $\Pi$ $k$ $(x,k)$ $A$ $x$ $\varepsilon := \frac{1}{k+1}$ $1+\frac{1}{k+1}$ $y$ $\text{cost}(x,y)$ $y$ $r(x,y)$ $y$ $\text{opt}(x)$ , тобто . $\text{cost}(x,y) = r(x,y)\cdot \text{opt}(x)$

Якщо , то прийміть так само чітко . Якщо , відхиліть як оскільки - ептас і $\text{cost}(x,y) \leq k$ $\text{opt}(x) \leq \text{cost}(x,y) \leq k$ $\text{cost}(x,y) > k$ $r(x,y) \leq 1+\frac{1}{k+1}$ $A$

opt (x) = \frac{cost (x, y)}{r (x, y)} \geq \frac{k + 1}{1 + \frac{1}{k + 1}} > k

$\text{opt}(x) = \frac{\text{cost}(x,y)}{r(x,y)} \geq \frac{k+1}{1+\frac{1}{k+1}} > k$

Звичайно, ви отримуєте обмежений час роботи для просто від будучи eptas . $A'$ $A$ $\Box$

Звичайно, як вказує Pål, параметризовані результати твердості мають на увазі відсутність будь-яких eptas, якщо не відбудеться якийсь колапс, але в є проблеми без eptas (або навіть ptas ), тому є строгий підмножина (у значенні теореми). $\mathrm{FPT}$ $\mathrm{EPTAS}$ $\mathrm{FPT}$

Виноски:

An fptas (еквівалентна eptas або ПТС ) є схемою апроксимації з часом роботи , обмеженим , як описано вище. Клас (еквів. , ) є безліч проблем в , які мають таку схему. $\mathrm{FPTAS}$ $\mathrm{EPTAS}$ $\mathrm{PTAS}$ $\mathrm{NPO}$

[1]: Дж. Флум та М. Грое, Теорія параметризованої складності , Спрингер, 2006.
[2]: C. Базган. Schémas d'approximation et complexité paramétrée , Rapport de DEA, Université Paris Sud, 1995.

— Люк Матієсон
джерело