Функції безперервного Скотта: альтернативне визначення

Я дуже боюся з цією властивістю:

Нехай $X,Y$ - простори когерентності, а $f: Cl(X) \rightarrow Cl(Y)$ монотонна функція. $f$ є безперервним тоді і тільки тоді, коли $f(\bigcup_{x\in D} x)=\bigcup_{x \in D}f(x)$ , для всіх $D \subseteq Cl(X)$ таким чином, що $D$ є направленою множиною.

Спрямований набір визначається таким чином: POSET$D \subseteq$- це спрямований набір iff ∃ z ∈ D таких x ⊆ z і x ′ ⊆ z . C l ( X ) означає кліки X: { x ⊆ | X | | , Б ∈ X ⇒ когерентний б } .$\forall x, x' \in D$ $\exists z \in D$$x \subseteq z$$x' \subseteq z$
$Cl(X)$$\{x \subseteq |X| \mid a,b \in x \Rightarrow a$$b \}$

Багато книг дають це як визначення Скотта безперервних функцій , але, на жаль, не мій вчитель. Він дав нам це визначення безперервного:

є безперервним, якщо воно монотонне і ∀ x ∈ C l ( X ) , ∀ b ∈ f ( x ) , ∃ x 0 ⊆ f i n x , b ∈ f ( x 0 ) , демонотонністьвизначається як: f - монотонна iff a $f : Cl(X) \rightarrow Cl(Y)$$\forall x \in Cl(X), \forall b \in f(x), \exists x_0 \subseteq_{fin} x, b \in f(x_0)$
$f$$a \subseteq b \Rightarrow f(a) \subseteq f(b)$

Це запропонований мені доказ, але я не можу зрозуміти останнє рівняння.

Доказ безперервного має на увазі f ( ⋃ D ) = ⋃ f ( D $f$$f(\bigcup D)=\bigcup f(D)$ :
Нехай . За визначенням безперервності ∃ x 0 ⊂ f i n x ∣ b ∈ f ( x 0 ) . Зауважимо, що x 0 - це об'єднання { x i ∣ x i ∈ D } .$b \in f(\bigcup D)$$\exists x_0 \subset_{fin} x \mid b \in f(x_0)$$x_0$$\{ x_i \mid x_i \in D\}$
Якщо прямий, то: ∃ z ∈ D ∣ x i ⊆ z, тоді x 0 ⊆ z . За визначенням монотонності, f ( x 0 ) ⊆ f ( z ), так b ∈ f ( z ) (???) ⊆ ⋃ f ( D ) . І навіть це правда, ми повинні показати, що ⋃ f ( D ) = f ( ⋃ $D$$\exists z \in D \mid x_i \subseteq z$$x_0 \subseteq z$$f(x_0)\subseteq f(z)$$b \in f(z)$ $\subseteq \bigcup f(D)$ , а не лише ⊆ .$\bigcup f(D) = f(\bigcup D)$$\subseteq$

Доказ іншого наслідку ще гірший, тому я не можу це написати тут ... Чи можете ви пояснити мені, як доказ може працювати?

Визначення наступності, яке використовує ваш вчитель, є кращим. Це досить конкретно розповідає, що означає наступність.

Нехай . Це означає, що з огляду на всю інформацію x , можливо, нескінченний набір лексем (атомів), функція виробляє деякий елемент, який має атомну частину інформації b . (Це може мати і іншу інформацію, але ми не переймаємось цим на даний момент.) Визначення вашого вчителя говорить про те, що не потрібно дивитися на всю нескінченну інформацію x для отримання вихідної інформації b . Якогось кінцевого підмножини x достатньо для його створення.$b \in f(x)$$x$$b$$x$$b$$x$

(Книга Мелвіна Фіттінга "Теорія обчислюваності, семантика та логічне програмування", Оксфорд, 1987, називає цю властивість компактністю і визначає неперервну функцію як монотонну та компактну.)

У цьому суть спадкоємності. Щоб отримати деяку кінцеву кількість інформації про вихід функції, вам потрібна лише кінцева кількість інформації про вхід. Вихід, отриманий функцією для нескінченного вводу, отримується шляхом з'єднання інформації, яку він виробляє, для всіх кінцевих наближень нескінченного вводу. Іншими словами, ви не отримуєте жодного магічного стрибка, переходячи від кінцевих наближень до їх нескінченного союзу. Що б ви не отримали в нескінченності, ви вже повинні потрапити на якийсь кінцевий етап.

Стандартне рівняння досить привабливо для погляду, але воно не говорить вам про всю інтуїцію, яку я пояснив вище. Однак математично це рівнозначно визначенню вашого вчителя.$f(\bigcup_{x \in D} x) = \bigcup_{x \in D} f(x)$

To show that $\bigcup_{x \in D} f(x) \subseteq f(\bigcup_{x \in D} x)$, it is enough to show that $f(x)$ is included in $f(\bigcup_{x \in D} x)$, for each $x \in D$. But that follows directly from monotonicity of $f$ because $x \subseteq \bigcup_{x \in D} x$. So, this is the "easy" direction.

Інший напрям, доведений вашим учителем, є цікавим: . Щоб побачити це, використовуйте інтуїцію, про яку я згадував вище. Будь-який атомний фрагмент інформації b у лівій частині походить від деякого кінцевого наближення введення: x 0 ⊆ f i n ⋃ x ∈ D x . Тобто, b ∈ f ( x 0 ) . Оскільки х $f(\bigcup_{x \in D} x) \subseteq \bigcup_{x \in D} f(x)$$b$$x_0 \subseteq_{fin} \bigcup_{x \in D} x$$b \in f(x_0)$$x_0$є кінцевим, і воно входить в об'єднання спрямованого набору, у спрямованому множині повинно бути щось більше, ніж , можливо, х 0 саме по собі. Назвіть цей елемент z . За монотонністю f ( x 0 ) ⊆ f ( z ) . Отже, b ∈ f ( z ) . Оскільки z ∈ D , f ( z ) ⊆ ⋃ x ∈ D f ( x ) . Отже, тепер $x_0$$x_0$$z$$f(x_0) \subseteq f(z)$$b \in f(z)$$z \in D$$f(z) \subseteq \bigcup_{x \in D} f(x)$$b$видно, що він знаходиться і в правій частині. QED.

As you have noted, showing that your teacher's continuity implies the pretty equation is the easy bit. The harder bit is to show that the pretty equation, despite looking like it is not saying very much, really does say everything in your teacher's definition.

Мені прийшло запізніле, після того як я написав останню відповідь, що визначення наступності вчителя, яке я пояснював у своїй відповіді, - це топологічне поняття наступності. Алгебраїчна формулювання безперервності , що, як правило , згадуються в підручниках Computer Science приховує все топологічну інтуїцію. (Насправді, Дана Скотт часто писала, що навмисно уникала топологічних формулювань, оскільки вчені-комп’ютери з цим не знайомі.)

Зв'язок між алгебраїчною та топологічною формулюванням називається кам'яною подвійністю , і тепер стає все більш зрозумілим, що саме ця зв'язок є надзвичайно важливою для інформатики.

For a conceptual exposition of these connections (and a lot more), See Abramsky's Information, processes and games.