Як перевіряти n елементів, як охопити всі т-підмножини якомога менше s-підмножин?

Ця проблема виникла при тестуванні програмного забезпечення. Проблему трохи важко пояснити. Спершу наведу приклад, потім спробую узагальнити проблему.

Є 10 предметів, які підлягають тестуванню, наприклад, від A до J, і інструмент для тестування, який може протестувати 3 предмети одночасно. Порядок елементів у інструменті тестування не має значення. Звичайно, для вичерпного тестування нам потрібні комбінації елементів.$^{10}C_{3}$

Проблема складніша. Існує додаткова умова, що після того, як пара предметів була протестована разом, то ж цю пару не потрібно перевіряти знову.

Наприклад, щойно ми виконали наступні три тести:

ABC

ADE

BDF

нам не потрібно виконувати:

ABD

оскільки пара A, B була охоплена першим випробувальним випадком, A, D була охоплена другою, а B, D була охоплена третьою.

Отже, проблема полягає в тому, яка мінімальна кількість тестових випадків нам потрібна для того, щоб перевірити всі пари?

Для узагальнення, якщо у нас є n елементів, s можна перевірити одночасно, і нам потрібно забезпечити тестування всіх можливих t кортежів (таких, що s> t), яка мінімальна кількість тестових випадків, які нам потрібні умови n, s і t?

І нарешті, який би був хороший алгоритм для створення необхідних тестових випадків?

Блокові конструкції, які ви хочете (для тестування 3 речей одночасно та охоплення всіх пар) називаються потрійними системами Steiner . Існує потрійна система Штайнера з трійки всякий раз, коли mod , і алгоритми, як відомо, будують їх. Дивіться, наприклад, це запитання про MathOverflow (із посиланням на робочий код Sage!). Для інших , ви можете округлити до наступного mod і використовувати модифікацію цієї потрійної системи для щоб охопити всі пари для .$\frac{1}{3} {n \choose 2}$$n \equiv 1 \mathrm{\ or\ } 3$$6$$n$$n' \equiv 1 \mathrm{\ or\ } 3$$6$$n'$$n$

Якщо ви хочете найкращої побудови для інших , кількість необхідних трійки - це число, що охоплює , і задається цим записом в он-лайн енциклопедії цілих послідовностей. Це посилання на сховище La Jolla Covering, яке має сховище хороших покриттів. Інтернет-енциклопедія цілих послідовностей дає видуману формулу для ; якщо ця формула дотримується, інтуїтивно це означає, що, ймовірно, повинні існувати хороші алгоритмічні способи побудови цих покриттів, але оскільки формула продумана, зрозуміло, що наразі ніхто їх не знає.$n$ $C(n,3,2)$$C(n,3,2)$

Для високої кількості покриттів знайти хороші покриття важче, ніж для , і сховище дасть кращі рішення, ніж будь-які відомі ефективні алгоритми.$C(n,3,2)$

Створіть непрямий графік де кожна вершина - пара елементів, і де є край між двома вершинами, якщо вони мають спільний елемент. Іншими словами, де і . Графік має вершин, і кожна вершина має ребра, що падають на нього.$G$$G=(V,E)$$V=\{\{a,b\} : a,b \in \text{Items} \land a\ne b\}$$E=\{(s,t) : s,t \in V \land |s\cap t|=1\}$${n \choose 2}$$2n-4$

Тоді один підхід буде знайти відповідність максимальної в . Алгоритм Едмонда може бути використаний для пошуку такої максимальної відповідності в поліноміальний час. Якщо вам пощастить, це дасть вам ідеальну відповідність, і тоді ви добрі. Кожне ребро у відповідності відповідає тестовому випадку . Оскільки кожна вершина стикається з одним краєм у ідеальній відповідності, ви охопили всі пари, використовуючи тестових випадків, що в межах коефіцієнта від оптимального. Якщо ви не отримаєте ідеальну відповідність, додайте ще кілька тестових випадків, необхідних для повного покриття.$G$$(\{A,B\},\{B,C\}) \in E$$A B C$${n \choose 2}/2$$1.5$

У випадку і вам потрібно виконати принаймні тестів, оскільки є пар, і кожен тест охоплює 3 пари. Це означає, що ви можете робити банальну справу і виконувати тести , і бути лише на 3 рази гіршим від оптимального.t = 2 ($s=3$$t=2$ (${n \choose 2}/3$(${n \choose 2}$${n \choose 2}$

Якщо ви насправді це програмуєте, то способом оптимізувати це можна, спершу вибравши кілька випадків тестів на номер, а потім виконайте грубу силу на парах, які поки не охоплені тестом.

---

Для загальних та існує нижня межа тестів . Для верхньої межі я стверджую, що цього достатньо, щоб зробити тести.t ($s$$t$ C⋅ (${n \choose t}/{s \choose t}$$C \cdot \frac{{n \choose t}}{s \choose t}\cdot {\log({n \choose t})} \leq O(t \cdot (\frac{n-t}{s-t})^t \log(n))$

Подивимося, що відбувається, ми вибираємо тести навмання рівномірно. Якщо ви вибрали випадково -tuple , тоді для фіксованого -tuple нас є . Отже, якщо ми виберемо тести випадково, то$s$$S \subseteq [n]$$t$$X \subseteq [n]$$\Pr[X \subset S] = \frac{{n-t \choose s-t}}{{n \choose s}}$$C \cdot {n \choose t} \cdot {\log({n \choose t})}$

$$\Pr[X \text{ does not belong to any of them}] = \left(1 - \frac{{n-t \choose s-t}}{{n \choose s}}\right)^{C \cdot {n \choose t} \cdot {\log({n \choose t})}} \leq \exp \left(-C \frac{{n-t \choose s-t}{n \choose t}}{{n \choose s}{s \choose t}} \cdot \log({n \choose t})\right) = \exp(-C \log{n \choose t})\leq 1/{n \choose t}.$$

Таким чином, зв'язаним об'єднанням, після випадкові тести будуть охоплені всі парні.$O(t \cdot (\frac{n-t}{s-t})^t \log(n))$$t$