Переповнення безпечного підсумовування

Припустимо , що я даюсь фіксованої ширини цілих чисел (тобто вони поміщаються в регістр ширини ), такі , що їх сума також міститься в регістр ширини . $n$ $w$ $a_1, a_2, \dots a_n$ $a_1 + a_2 + \dots + a_n = S$ $w$

Мені здається, що ми завжди можемо переставити числа до таким чином, що кожна префіксальна сума також вписується в регістр ширини . $b_1, b_2, \dots b_n$ $S_i = b_1 + b_2 + \dots + b_i$ $w$

В основному, мотивація полягає у обчисленні суми на машинах реєстрації фіксованої ширини, не турбуючись про цілі переповнення на будь-якому проміжному етапі. $S = S_n$

Чи є швидкий алгоритм (бажано лінійний час) , щоб знайти таку перестановку (передбачається , дано в якості вхідного масиву)? (або скажіть, якщо така перестановка не існує). $a_i$

— Ар'ябхата
джерело

Наступні дії: Виявлення переповнення підсумовування - чи існує більш швидкий метод, який враховує типові особливості процесора?

— Жил "ТАК - перестань бути злим"

Просто використовуйте два регістри доповнення та підсумовуйте їх. Навіть якщо він переповнюється посередині, ваша попередня умова гарантує, що переливи скасуються, а результат буде правильним. : P

— CodesInChaos

@CodeInChaos: Це дійсно так?

— Ар'ябхата

Я думаю так. Ви в основному працюють в групі по модулю 2 ^ п, де ви вибираєте канонічне уявлення від -2^(n-1)до 2^(n-1)-1. Звичайно, це вимагає доповнення двох і чітко визначеної поведінки переповнення, але такою мовою, як C #, вона повинна працювати.

— CodesInChaos

@CodeInChaos: Чи не існує двох можливостей, які дають однаковий модуль, що залишився

? Ви в основному говорите, незалежно від порядку, один з них ніколи не може відбутися. Або я щось пропускаю?

2^{n}

$2^n$

— Ар'ябхата

Стратегія
Наступний алгоритм лінійного часу приймає стратегію зависання навколо , вибираючи або додатні, або негативні числа на основі ознаки часткової суми. Він попередньо обробляє список номерів; він обчислює перестановку вводу на льоту , виконуючи додавання. $0$

Алгоритм

Partition в двох списках, позитивні елементи і негативні елементи . Нулі можна відфільтрувати. $a_1, \ldots, a_n$ $P$ $M$
Нехай . $Sum=0$
Хоча обидва списки не порожні
$~~~~~~$ $Sum>0$ $Sum:=Sum+\text{head}(M)$ $M:=\text{tail}(M)$
$~~~~~~$ $Sum:=Sum+\text{head}(P)$ $P:=\text{tail}(P)$
$S$

Правильність
Правильність можна встановити, використовуючи прямо індуктивний аргумент про довжину списку чисел.

$a_1, \ldots, a_n$

$Sum$ $Sum=0$ $Sum>0$ $Sum$ $Sum$ $Sum\le0$ $Sum$ $Sum$

Тепер можна застосувати перший результат, і разом їх достатньо, щоб довести, що сума ніколи не виходить за межі.

— Дейв Кларк
джерело

0

$0$