Асимптотичне наближення відношення рецидиву (Акра-Бацці не здається)

Припустимо, алгоритм має відношення періодичності виконання:

$T(n) = \left\{ \begin{array}{lr} g(n)+T(n-1) + T(\lfloor\delta n\rfloor ) & : n \ge n_0\\ f(n) & : n < n_0 \end{array} \right.$

для деякої постійної . Припустимо, що многочлен в , можливо, квадратичному. Швидше за все, буде експоненціальною в . $0 < \delta < 1$ $g$ $n$ $f$ $n$

Як можна було б проаналізувати час виконання ( буде чудовим)? Основна теорема та більш загальний метод Акра-Бацци, схоже, не застосовуються. $\Theta$

asymptotics recurrence-relation

— Остін Бюкенан
джерело

Знайти хорошу нижню межу досить просто, але знайти хорошу верхню межу важко, але приблизно кажучи, схоже, близький до .

T (n) = a \cdot T (n / a) + g (n)

$T(n) = a\cdot T(n/a) + g(n)$

Якщо ви все ще шукаєте відповідь, слід перевірити Грем, Кнут та Паташник, "Конкретна математика".

— Каве

Якщо припустити, що є постійним, нам не потрібні припущення щодо , чи ні?

n_{0}

$n_0$

f

$f$

— Рафаель

Параметр може залежати від примірника. Було б непогано подивитися, як час виконання залежить від .

n_{0}

$n_0$

n_{0}

$n_0$

— Остін Бюкенан

Я задав відповідне запитання, яке до цих пір не породило жодної загальної теореми для подібних повторень.

— Рафаель

Один з можливих підходів може бути за аналогією до диференціальних рівнянь. Нехай . Тут - дискретний аналог першої похідної . таке співвідношення: Неперервним аналогом цього є диференціальне рівняння або, якщо ви хочете бачити його написаним інакше: Це диференціальне рівняння. $T'(n) = T(n)-T(n-1)$ $T'(n)$ $T(n)$

T^{'} (n) = T (⌊ δ n ⌋) + g (n) .

$T'(n) = T(\lfloor \delta n \rfloor) + g(n).$

t^{'} (x) = t (δ x) + g (x),

$t'(x) = t(\delta x) + g(x),$

\frac{d}{d x} t (x) = t (δ x) + g (x) .

${d \over dx} t(x) = t(\delta x) + g(x).$

Тепер ви можете спробувати розв'язати диференціальне рівняння для безперервної функції , а потім висунути гіпотезу, що подібна функція буде рішенням вашого вихідного відношення повторення, і спробуйте довести свою гіпотезу. Принаймні, це один загальний підхід, якого ви могли би дотримуватися. $t(x)$

Я забув усе, що колись знав про диференціальні рівняння, тому не знаю рішення, яке диференціальне рівняння, але, можливо, ви зможете вирішити це, переглянувши всі методи розв’язання диференціальних рівнянь.

— DW
джерело

Дональд Дж. Ньюман, схоже, часто використовував цю техніку, маючи чудові результати.

— Ар'ябхата

Не дивлячись далі. Розв’язати це диференціальне рівняння непросто. Я не надто переконаний, що він має рішення закритої форми після спроби декількох базових форм для .

t (x)

$t(x)$

— ПоінформованоA