Пряме зменшення від до

Ми знаємо , що в по Іммерман-Szelepcsenyi теорема теорема і так є тому це багато-один журнальний простір, зведений до . Але чи існує пряме / комбінаторне скорочення, яке не проходить через графік конфігурації машин Тьюрінга в ?N L$st\text{-}non\text{-}connectivity$$\mathsf{NL}$N L - h a r d s t - n o n - c o n n e c t i v i t y s t - c o n n e c t i v i t y N $st\text{-}connectivity$$\mathsf{NL\text{-}hard}$$st\text{-}non\text{-}connectivity$$st\text{-}connectivity$$\mathsf{NL}$

$\mathsf{stConnectivity}$ (він же ):$stPATH$

Дано спрямований графік і вершини s і t ,с $G$$s$$t$

Чи існує спрямований шлях від вершини до вершини ?$s$$t$

Роз'яснення:

Ви можете припустити, що графік задається його матрицею суміжності (однак, це не є важливим, оскільки стандартні подання графіків конвертуються між собою в журнал-простір.)

Можна роздрукувати доказ ності і перемістити його в доказ , тому доказ не використовує його , що теорема в вигляді леми. Однак це все одно та сама конструкція. Що я шукаю, це не це, я хочу концептуально прямого скорочення. Дозвольте навести аналогію із випадком . Ми можемо зменшити різні проблеми один до одного, використовуючи той факт, що вони знаходяться в тому зменшуємо до і s t - c o n n e c t i v i t $\mathsf{NL\text{-}hard}$$st\text{-}connectivity$N P - c o m p l e t e N P S A T S A $\mathsf{NP}$$\mathsf{NP\text{-}complete}$$\mathsf{NP}$$SAT$$SAT$зводиться до іншої проблеми. І ми можемо розпакувати та поєднати ці два скорочення, щоб отримати пряме зменшення. Однак часто можна дати концептуально набагато простіше скорочення, яке не проходить цей проміжний крок (ви можете видалити згадування про це, але воно все ще існує концептуально). Наприклад, щоб зменшити або або до ми не кажемо, що знаходиться у а тому зменшується до оскільки є$HamPath$$VertexCover$$3\text{-}Coloring$$SAT$$HamPath$$\mathsf{NP}$$SA$$SAT$$\mathsf{NP\text{-}hard}$. Ми можемо дати просту інтуїтивно зрозумілу формулу, яка задовольняється, якщо графік має гамільтонів шлях. В іншому прикладі ми маємо скорочення від інших проблем у до які не покладаються на значення , наприклад , тощо, вони передбачають модифікацію на вхідному графіку (і не стосуються жодної машини Тьюрінга, яка їх вирішує).$\mathsf{NL}$$st\text{-}Connectivity$$\mathsf{NL\text{-}complete}$$st\text{-}Connectivity$$Cycle$$StronglyConnected$

Я досі не бачу жодної причини, чому цього не можна зробити для цього. Я шукаю такого скорочення.

Можливо, це неможливо, і будь-яке зменшення концептуально пройде через результат ness. Однак я не бачу, чому це має бути так, чому ситуація відрізнятиметься від випадку . Очевидно, щоб дати негативну відповідь на моє запитання, ми повинні бути більш офіційними щодо того, коли це доводиться концептуально$\mathsf{NL\text{-}hard}$$\mathsf{NP}$включіть ще один доказ (який є питанням теорії доказів, що AFAIK не вирішується задовільно). Однак зауважте, що для позитивної відповіді не потрібно такого формального визначення, і я сподіваюся, що це так. (Я подумаю, як формалізувати те, про що я прошу, вірним чином, коли знайду більше вільного часу. По суті, я хочу, щоб зменшення було б спрацьовим, навіть якби ми не знали, що проблема не завершена . )$\mathsf{NL}$

Використання доказів теореми Іммермана – Шелепчесі є прекрасним, - я хочу уникати ності та конфігураційного графіка машини .$\mathsf{NL\text{-}complete}$$stPATH$$\mathsf{NL}$

Можна, якщо безладно, перетворити доказ теореми Імермена-Щелепченія у потрібне скорочення. Абсолютно не потрібно використовувати NL-повноту st-підключення.

З огляду на екземпляр , ми побудуємо новий графік G ′ = ( V ′ , E ′ ) , s ′ , t ′ . "Основні вершини" V ' записують таку інформацію: поточна відстань d від s , кількість вершин відстані не більше d - 1 , кількість вершин відстані d - $G=(V,E),s,t$$G'=(V',E'),s',t'$$V'$$d$$s$$d-1$$d-1$підраховуючи поки що, поточну вершину, яку ми здогадуємось, чи має вона відстань щонайбільше , кількість вершин відстані, щонайбільше d, нараховується дотепер, поточну вершину, яку ми визначаємо, чи має вона відстань щонайбільше d . Незначні вершини обробляють ту частину, де ми вгадуємо шлях довжиною не більше d - 1 до вершини, яка, як ми вважаємо, відстань не більше d - 1 . Краї, які включають показ вершини t , доступні від $d-1$$d$$d$$d-1$$d-1$$t$$s$скидаються. Для кожної вершини, яку ми тестуємо на поточній відстані, ми переходимо до наступної вершини лише у тому випадку, якщо ми врахували всі вершини меншої відстані. При переході від відстані до відстані d + 1 ми копіюємо необхідну інформацію. Початкова вершина s ′ пояснює той факт, що s - єдина вершина нуля відстані. Кінцева вершина t ' вказується на всі вершини, що представляють той факт, що процес закінчився (включаючи) відстань n - 1 , де n = | V | .$d$$d+1$$s'$$s$$t'$$n-1$$n=|V|$

Як бачите, буде досить безладно написати все повно і правильно, але, безумовно, можливо. Не використовувалося явного використання повноти NL, оскільки ми ніколи не використовуємо графік конфігурації жодної машини NL. Це не потрібно, оскільки у нас є щось краще, ніж графік конфігурації - сам вхідний екземпляр.