Ефективне кодування головоломок судоку

Визначення будь-якої довільної сітки 9х9 вимагає надання позиції та значення кожного квадрата. Наївне кодування для цього може давати 81 (x, y, значення) триплети, що вимагає 4 біт для кожного x, y та значення (1-9 = 9 значення = 4 біта) на загальну суму 81x4x3 = 972 біт. Пронумерувавши кожен квадрат, можна зменшити інформацію про положення до 7 біт, скинувши трохи за кожен квадрат і загалом 891 біт. Вказавши заздалегідь визначений порядок, можна зменшити це більш різко до лише 4 біт за кожне значення на загальну суму 324 біта. Однак у судоку може бути відсутні цифри. Це забезпечує потенціал для зменшення кількості чисел, які потрібно вказати, але може знадобитися додаткові біти для вказівки позицій. Використовуючи наше 11-бітове кодування (позиція, значення), ми можемо вказати головоломку з підказками$n$$11n$ біт, наприклад мінімальна (17) головоломка вимагає 187 біт. Найкраще кодування, про яке я думав поки що, - використовувати один біт для кожного пробілу, щоб вказати, чи заповнений він, і якщо так, наступні 4 біти кодують число. Для цього потрібно біт, 149 для мінімальної головоломки ( ). Чи існує більш ефективне кодування, бажано без бази даних про кожну дійсну установку судоку? (Бонусні бали для адресації загального з головоломки)$81+4n$$n=17$$n$$N \times N$

Мені просто прийшло в голову, що багато головоломок будуть обертанням іншого або матимуть просту перестановку цифр. Можливо, це може допомогти зменшити потрібні біти.

За даними Вікіпедії ,

Кількість класичних сіток для рішення Судоку 9 × 9 становить 6 670 903 752 072 072 936 960 (послідовність A107739 в OEIS), або приблизно .$6.67×10^{21}$

Якщо я зробив правильно математику ( ), це виходить 73 (72.498) біти інформації для таблиці пошуку.$\frac{ln{(6,670,903,752,021,072,936,960)}}{ln{(2)}}$

Але:

Кількість принципово різних рішень при врахуванні таких симетрій, як обертання, віддзеркалення, перестановка та відновлення, було лише 5,472,730,538 [15] (послідовність A109741 в OEIS).

Це дає 33 (32,35) біта, тому можливо, що розумний метод визначення, яка перестановка для використання могла опуститись нижче повних 73 біт.

Чи існує більш ефективне кодування, бажано без бази даних про кожну дійсну установку судоку?

Так. Я можу придумати кодування, що покращує ваше 149-бітове кодування мінімальної головоломки в 6 або 9 біт, залежно від умови. Це без бази даних або будь-якого реєстру інших рішень або часткових плат. Ось це іде:$9\times 9$

По-перше, ви використовуєте біти для кодування числа m з мінімальною кількістю показів на дошці. Наступні 4 біти кодують фактичне число ℓ разів з’являється m . Наступні 7 ℓ біт кодують кожне з позицій, в яких з'являється m .$4$$m$$4$$\ell$$m$$7\ell$$m$

Наступні біти - це прапори, що вказують, чи є в інших позиціях число чи ні (ви просто пропускаєте позиції, в яких m ). Щоразу, коли один з цих бітів є , то наступні 3 біти вказують, яке це число (у впорядкованому наборі { 1 , … , 9 } без m ). Наприклад, якщо m = 4 і 3 біти , то число у відповідному положенні на дошці є 5-м (рахуючи від 0) у множині { 1 , 2 , 3 $81-\ell$$m$1$\{1,\ldots,9\}$$m$$m=4$101 , значить, це 6 . Числа j < m будуть кодовані у двійковій формі як j - 1 , тоді як числа j > m будуть кодовані як j - 2 . Оскільки ми вже писали ℓ позиції,для цього коду решти дошки буде доданолише 3 ( n - ℓ ) біти.$\{1,2,3,5,6,7,8,9\}$$6$$j<m$$j-1$$j>m$$j-2$$\ell$$3(n-\ell)$

Таким чином, загальна кількість бітів, необхідних для кодування плати за цією процедурою, становить

Для зазначимо, що ℓ може бути 0 або 1 (загалом ℓ ≤ ⌊ n / 9 ⌋ ). Таким чином, B може бути 140 або 143 залежно від того, чи є на дошці число, яке не відображається.$n=17$$\ell$$\ell\leq\lfloor n/9\rfloor$$B$

Варто зазначити, що рішення Кевіна набагато краще в загальному випадку. Це кодування використовує не більше 149 біт лише для або для n = 20 за умови, що ℓ = 0 . Принаймні, це показує загальне уявлення про те, як скористатися тим фактом, що N = 9 дуже близький до 2 ⌊ log 2 N ⌋ (це означає, що ми, як правило, "втрачаємо пам'ять", використовуючи 4 біти на значення, оскільки 4 біти дозволяють нам також виразити N = 16 чисел.$n\in\{17,18,19\}$$n=20$$\ell=0$$N=9$$2^{\lfloor\log_2N\rfloor}$$N=16$

Приклад. Розглянемо наступну дошку з підказок.$n=17$

.  .  .   .  .  .   .  1  .
4  .  .   .  .  .   .  .  .
.  2  .   .  .  .   .  .  .

.  .  .   .  5  .   4  .  7
.  .  8   .  .  .   3  .  .
.  .  1   .  9  .   .  .  .

3  .  .   4  .  .   2  .  .
.  5  .   1  .  .   .  .  .
.  .  .   8  .  6   .  .  .

Тут жодне число не з’являється на дошці, а цифри 6, 7 і 9 з’являються лише один раз. Беремо ( ) і ℓ = 1 ( ). Читаючи позиції зліва направо, а потім зверху вниз, m з'являється в положенні 36 ( ). Таким чином, наше кодування починається з .$m=7$0111$\ell=1$0001$m$$36$0100100011100010100100

01$1$01$4$0000000100101100$m=7$110${1,2,3,4,5,6,8,9}$111

// m=7, l=1 and its position on the board.
011100010100100
// Numbers 1 and 4 at the beginning. Note that 1 is encoded 000, and 4 is 011.
0000000100001011
// Numbers 2 and 5.
0000000001001000000000001100
// Numbers 4 and 8. We skip the appearance of 7 and encode 8 as 110.
010110001110
// 3, 1 and 9. 9 is encoded as 111.
00010100000100001111
// 3, 4, 2, 5, 1, 8, 6 and the last empty cells.
0000101000101100100100011000100000000000111001101000

Повне кодування є 01110001010010000000001001010110000000001001000000000001100010110001110000101000001000011110000101000101100100100011000100000000000111001101000, і читач може перевірити, чи дійсно довжина цього рядка 143 :-)