Доступний простір стану 8-головоломки

Я щойно почав вивчати Штучний інтелект і мені цікаво, чому доступний простір стану 8-головоломки дорівнює . Я бачу, що кількість перестановок плиток становитьале не відразу зрозуміло, чому половина можливих станів головоломки недосяжні в будь-якому даному стані. Хтось може детальніше розробити? $9!/2$ $9!$

Зображення 8-головоломки для довідки з випадковою конфігурацією зліва та станом цілі праворуч:

Зразок 8-головоломки

artificial-intelligence

— Cam
джерело

Оскільки графік стану складається з двох роз'єднаних компонентів однакового розміру (загальна кількість перестановок перестановки кожного стану є інваріантним модулем 2, тому два стани, що мають загальну кількість перестановок перестановки непарних і навіть не пов'язані між собою); Я не знайшов добре пояснений приклад, але ця презентація повинна бути достатньо чіткою, щоб ви могли зрозуміти це (за винятком помилки "підключений", яку слід замінити на "відключено")

— Vor

@Ви перетворитесь на відповідь?

— Yuval Filmus

Це розширення цієї презентації .

Тому що графік стану складається з двох роз'єднаних компонентів однакового розміру. Без втрати загальності можна вважати, що цільовий стан дорівнює . $1\;2\;3\;...\;15\;\Box$

 1  2  3  4
 5  6  7  8
 9 10 11 12
13 14 15  *

З огляду на стан перестановка інверсія є плитка , яка поміщається після але ; це відбувається, коли (a) знаходиться в тому ж рядку , але праворуч, або (b) знаходиться в нижньому рядку: $S$ $T_i$ $T_j$ $i < j$ $T_i$ $T_j$ $T_i$

 .  .  .  .      .  .  .  .
 3  .  .  1      .  7  .  .
 .  .  .  .      .  5  .  .
 .  .  .  .      .  .  .  .
    (a)             (b)

Ми визначаємо як кількість плиток , що з’являється після . Наприклад, у штаті: $N_j$ $T_i$ $i < j$ $T_j$

 1  2  3  4
 5 10  7  8
 9  6 11 12
13 14 15  *

ми маємо, що після є одна плитка ( ), яка повинна бути перед нею, тому ; після є чотири плитки ( ), які повинні бути перед ним, тому . $T_{7}$ $T_6$ $N_7=1$ $T_{10}$ $T_7, T_8, T_9, T_6$ $N_{10}=4$

Нехай - сума всіх та номер рядка порожньої плитки $N$ $N_i$ $T_{\Box}$

N = \sum_{i = 1}^{15} N_{i} + r o w (T_{◻})

$N = \sum_{i=1}^{15} N_i + row(T_{\Box})$

У наведеному вище прикладі маємо: $N = N_7 + N_8 + N_9 + N_{10} + row(T_{\Box}) = 1 + 1 +1 + 4 + 4=11$

Ми можемо помітити, що при переміщенні порожньої плитки горизонтально не змінюється; якщо перемістити порожню плитку вертикально, змінюється на рівну кількість. $N$ $N$

Наприклад:

 .  .  .  .      .  .  .  .
 .  .  2  3      .  .  *  3
 4  5  *  .      4  5  2  .
 .  .  .  .      .  .  .  .

$N' = N + 3 \mbox{ (2 is placed after 3,4,5)} - 1 \mbox{ (empty tile is moved up)} = N + 2$

 .  .  .  .      .  .  .  .
 .  .  *  4      .  .  3  4
 2  5  3  .      2  5  *  .
 .  .  .  .      .  .  .  .

$N' = N + 1 \mbox{ (2 is placed after 3)} - 2 \mbox{ (4,5 are placed after 3)} + 1 \mbox{ (empty tile is moved down)} = N$

Тож є інваріантним при будь-якому законному переміщенні порожньої плитки . $N \bmod 2$

Можна зробити висновок, що простір стану розділено на дві роз'єднані половинки, одна має а друга має . $N \bmod = 0$ $N \mod 2 = 1$

Наприклад, наступні два стани не пов'язані:

 1  2  3  4     1  2  3  4
 5  6  7  8     5  6  7  8
 9 10 11 12     9 10 11 12
13 14 15  *    13 15 14  *  
    N = 4         N = 5

— Vor
джерело

Це стосується 15-головоломки, але, схоже, результат можна узагальнити і для 8-головоломки. Дякую!

— Кам