гілотинні надрізи порівняно із загальними

Проблеми з різанням - це проблеми, коли певний великий об’єкт слід розрізати на кілька невеликих об’єктів. Наприклад, уявіть , у вас є завод , який працює з великими листами сирого скла, шириною і довжиною L . Є кілька покупців, кожен з яких хоче необмежену кількість маленьких скляних аркушів. Покупець мені хоче аркуші довжиною l i та шириною w i . Ваша мета - вирізати невеликі аркуші з великого, таким чином, щоб загальний обсяг використовуваних максимізувався, а відходи були мінімізовані (також існують інші види різання та упаковки ).$W$$L$$i$$l_i$$w_i$

Одне поширене обмеження в проблемах різання полягає в тому, що надрізи повинні бути гілотинними розрізами , тобто кожен існуючий прямокутник можна розрізати лише на два менші прямокутники; неможливо зробити L-образні тощо. Очевидно, що максимально використана площа з гілотинними надрізами може бути меншою, ніж максимально використана площа без обмежень.

Моє запитання: Чи існують верхня та нижня межі співвідношення між оптимальним гілотиновим розрізом та оптимальним загальним розрізом?

Супутні роботи: Пісня та ін. (2009) описують алгоритм, який використовує обмежений тип гілотинових надрізів - двічі гілотинові надрізи . Вони доводять, використовуючи геометричні обмеження, що відношення між максимальним двократним гільотинним розрізом і максимальним гілотиновим розрізом обмежене $\frac{6}{7}$ . Я шукаю порівняний результат щодо співвідношення між максимальним гілотиновим розрізом та максимальним загальним розрізом.

Незважаючи на те, що це не дуже сильно, я можу запропонувати більш низькі і верхня межа і 3 /$1/4$$3/4$ на найгіршому випадку співвідношення між гільйотини порізів і загальних скорочень.

Почнемо з верхньої межі і припустимо, що нам надається квадратний шматочок скла довжиною сторони . Крім того, у нас є рівно один покупець, який цікавиться прямокутними скляними листами шириною 1 - ε та довжиною 1 + ε . Використовуючи загальні надрізи, оптимальне рішення виглядає приблизно так, як показано на малюнку нижче, із чотирма бажаними прямокутниками, розміщеними навколо невеликого квадрата бічної довжини ε посередині.$2$$1-\varepsilon$$1+\varepsilon$$\varepsilon$

Неважко помітити, що такої схеми різання неможливо досягти за допомогою гілотинних надрізів. Насправді, будь-який візерунок різання з використанням гілотинових вирізів може вмістити щонайбільше 3 бажаних прямокутника в початковий квадрат. В результаті, найгірше співвідношення між розрізами гільйотинних і загальними скороченнями становить щонайменше .$3/4$

$W$$L$$i$$w_i \leq W$$l_i \leq L$$i$

$i$$1/4$

Я знаю, що нижня межа досить слабка, і, напевно, її можна покращити трохи більше роботи. Але це початок.