Складність проблеми усиновлення кошеняти

Це з’явилося, коли я намагався відповісти на це питання щодо мінімізації довжини проводки . Я збирався назвати це проблемою "багатоженського шлюбу", але Інтернет, тож кошенята. Так!

Припустимо , що ми маємо кошенят , які повинні бути прийняті N людина, M > N . Для кожного кошеня, я та кожної людини j існує вартість c i j . Ми хотіли б мінімізувати загальні витрати на усиновлення всіх кошенят. Існує також безліч обмежень: кожна людина J може не прийняти не більше ˙U J кошенят.$M$$N$$M > N$$i$$j$$c_{ij}$$j$$u_j$

Без обмежень проблема проста; кожен кошеня йде з людиною j, для якої c i j мінімальний. З обмеженнями існує ефективний алгоритм цієї проблеми чи це NP-важко?$i$$j$$c_{ij}$

Це проблема мінімальної витрати на максимальну витрату.

Розглянемо графік , де A - безліч кошенят, B - сукупність людей.$G=(A\cup B\cup \{s,t\},E)$$A$$B$

Нехай - ємність ребер, а c : E → R + - вартість ребра. Ми переконуємось у цьому$C:E\to \mathbb{R}^+$$c:E\to \mathbb{R^+}$

1. Між є ребро , де a i ∈ A і b j ∈ B , і C ( a i , b j ) = 1 , c ( a i , b j ) = c i , j .$a_i,b_j$$a_i\in A$$b_j\in B$$C(a_i,b_j)=1$$c(a_i,b_j)=c_{i,j}$
2. Існує ребро між і a i ∈ A , і C ( s , a i ) = 1 , c ( s , a i ) = 0 .$s$$a_i\in A$$C(s,a_i)=1$$c(s,a_i)=0$
3. Існує ребро між і t , і C ( b j , t ) = u j , c ( b j , t ) = 0 .$b_j\in B$$t$$C(b_j,t)=u_j$$c(b_j,t)=0$

Якщо максимальний потік , то ми знаємо, що існує рішення. Ви можете сконструювати рішення мінімальної вартості з максимального потоку мінімальної вартості.$M$

Це мінімальна вага ідеального узгодження проблеми, яка є поліноміальною. Розглянемо повний двосторонній графік , в якому L містить вузол l i для кожного кошеня i , R складається з u j копій вузла r j для кожної людини j , а ребер e i j ∈ E між l i і кожна копія r j , з вагами c i j .$(L , R , E)$$L$$l_i$$i$$R$$u_j$$r_{j}$$j$$e_{ij} \in E$$l_i$$r_{j}$$c_{ij}$

Ми знаємо, що , інакше не всіх кошенят можна призначити особам.$|L| \leq |R|$

Оскільки зроблене паросполучення має відповідати всім вузлам, нам потрібно додати фіктивні вузли (для отримання | L | = | R | ) і з'єднати їх з нульовим вагою ребер для всіх вузлів в R .$L$$|L| = |R|$$R$

Можливо, цікавим є спостереження, що можна звести розділ до варіанту цієї проблеми. Даний екземпляр Розбиття з елементами з q, навіть з якого нам потрібно вибрати підмножину S ⊆ { 1 , … , q } з | S | = q / 2 така, що ∑ i ∈ S x i = ∑ i ∉ S x i = $\{x_1,\dots,x_q\}$$q$$S \subseteq \{1,\dots,q\}$$|S|=q/2$$\sum_{i\in S} x_i = \sum_{i\not\in S} x_i = K$. (Зверніть увагу, що вимога вибору точно половини елементів не є звичайною формою, але ця форма все ще є важкою для NP.) Нехай кожен кошеня буде елементом набору; нехай буде дві людини; нехай ваги будуть і c i 2 = - x i ; нехай u 1 = u 2 = q / 2 . Потім цей екземпляр Kitten Затвердження має максимум в 0 тоді і тільки тоді екземпляр розділу має рішення.$c_{i1} = x_i$$c_{i2} = -x_i$$u_1 = u_2 = q/2$$0$

$C$$Cq$

Я не впевнений, що це говорить про складність початкової проблеми, але, враховуючи часто зустрічається "один з мінімізувати / максимізувати NP-важко, інший знаходиться в P" для встановлення проблем комбінаторної оптимізації, я б почав шукати ефективний алгоритм.