Короткий і гладкий доказ сильної теореми про дуальність для лінійного програмування

Розглянемо лінійні програми

\begin{array}{ccc} P r i m a l : & A \vec{x} \leq \vec{b} & max {\vec{c}}^{T} \vec{x} \end{array}

$\begin{array}{|ccc|} \hline Primal: & A\vec{x} \leq \vec{b} \hspace{.5cm} & \max \vec{c}^T\vec{x} \\ \hline \end{array}$

\begin{array}{ccc} D u a l : & \vec{c} \leq {\vec{y}}^{T} A & min {\vec{y}}^{T} \vec{b} \end{array}

$\begin{array}{|ccc|} \hline Dual: & \vec{c} \leq \vec{y}^TA \hspace{.5cm} & \min \vec{y}^T\vec{b} \\ \hline \end{array}$

Теорема про слабку дуалізм говорить, що якщо $\vec{x}$ і $\vec{y}$ задовольняють обмеження, то $\vec{c}^T\vec{x} \leq \vec{y}^T\vec{b}$ . Він має короткий і гладкий доказ за допомогою лінійної алгебри: $\vec{c}^T\vec{x} \leq \vec{y}^T A \vec{x} \leq \vec{y}^T\vec{b}$ .

Сильна теорема про дуальність говорить, що якщо $\vec{x}$ є оптимальним рішенням для первісного, то існує $\vec{y}$ що є рішенням для подвійного і $\vec{c}^T\vec{x} = \vec{y}^T\vec{b}$ .

Чи існує аналогічно короткий і гладкий доказ сильної теореми про подвійність?

— Каве
джерело

Глава 4 онлайн-курсу MIT web.mit.edu/15.053/www від Bradley, Hax та Magnanti дає досить короткий доказ у цьому напрямку. Це те, що ви шукаєте?

— коді

@cody, ну, схоже, це те саме, що і в CLRS. Це може бути добре, якщо ви зможете виразити це гладкою лінійною алгеброю (тобто без сум).

— Kaveh

Здається, що я хотів, можливо, неможливо. Фаркас використовує замкнутість простору, а значить, немає чистого лінійного доказу алгебри.

— Каве

Намагаючись знайти щось не надто громіздке, щоб показати своїм учням (тому їм не доведеться просто сприймати сильну подвійність у вірі), і більшість того, що я натрапила, більше в занадто громіздкій категорії. Щойно знайшов аргумент у замітках класу Дена Спілмана, який досить короткий і, здавалося б, простий. Не впевнені, чи ховається якась складність, чи щось не вистачає? (Ще не вивчив її досить ретельно, щоб сказати.) Cs.yale.edu/homes/spielman/BAP/lect12.pdf

— Magnus Lie Hetland

Гадаю, центральним моментом є геометрична інтерпретація попередньої лекції, яка повертає нас до сімейства доказів Simplex: cs.yale.edu/homes/spielman/BAP/lect11/lect11.pdf

— Magnus Lie Hetland

Напевно, ні. Ось концептуальний аргумент на основі

Лемма Фаркаса : Вирішення саме однієї з наступних альтернатив:

$Ax \le b$ і $x \ge 0$

$y^TA\ge 0$ і $y^Tb < 0$

Тепер нехай - це оптимальне об'єктивне значення простого елемента. Нехай довільне. Нехай буде з додатковим як останній рядок. Нехай буде з додатковим як останнє значення. $\delta$ $\epsilon > 0$ $A'$ $A$ $-c^T$ $b'$ $b$ $-\delta - \epsilon$

Система не має рішення. За Фаркасом, є така, що: $A'x'\le b'$ $y' = (y,\alpha)$

$y^TA\ge \alpha c$ і . $y^Tb < \alpha (\delta + \epsilon)$

Зауважте, що якщо ми знаходимося в іншій альтернативі Фаркаса. Тому . $\epsilon = 0$ $\alpha > 0$

Масштабуйте так, що . подвійний здійсненний. Слабка подвійність передбачає . $y'$ $\alpha = 1$ $y$ $\delta \le y^Tb < \delta + \epsilon$

— Луї
джерело

Я думаю, що це підтвердження в лекційних записках Джеффа Еріксона . Я шукаю те, що уникає епсілону (наприклад, чистої лінійної алгебри).

— Каве

Те, що має JeffE, трохи інше, і це більше пояснює геометрію. У будь-якому випадку, ви не збираєтеся знайти те, що хочете, в тому сенсі, що можлива область - це багатогранник, а не лінійний простір, тому з часом щось потрібно буде використати. (Ось вона ховається у Фаркасі. Книга Гертнера та Матушека - справді хороша довідка для цього матеріалу. Я впевнений, що це підтвердження є.)

— Луї