динамічні вправи програмування на різанні струн

Я працюю над наступною проблемою з цієї книги .

Певна мова обробці рядків пропонує примітивну операцію, яка розбиває рядок на дві частини. Оскільки ця операція передбачає копіювання початкового рядка, то на рядок довжиною n потрібно n одиниць часу, незалежно від місця розрізу. Припустимо, тепер ви хочете розірвати рядок на багато частин. Порядок, в якому робляться перерви, може впливати на загальний час роботи. Наприклад, якщо ви хочете вирізати 20-символьний рядок у позиціях $3$ та $10$ , тоді перший розріз у позиції $3$ приводить до загальної вартості $20 + 17 = 37$ , тоді як виконання позиції 10 спочатку має кращу вартість $20 + 10 = 30$.

Мені потрібен алгоритм динамічного програмування, який, даючи $m$ скорочення, знаходить мінімальну вартість розрізання рядка в $m +1$ штуку.

Основна ідея полягає в тому, щоб випробувати всі позиції розрізання як перший вибір, вирішити відповідні частини рекурсивно, додати вартість і вибрати мінімум.

У формулі:

$\qquad \displaystyle \operatorname{mino}(s, C) = \begin{cases} |s| &, |C| = 1 \\ |s| + \min_{c \in C} \left[ \begin{align}&\operatorname{mino}(s_{1,c}, \{c' \in C \mid c' < c\})\ \\ +\ &\operatorname{mino}(s_{c+1,|s|}, \{c' - c \in C \mid c' > c\}) \end{align}\right] &, \text{ else} \end{cases}$

Зауважте, що застосування запам'ятовування до цієї рекурсії насправді економить роботу, оскільки перемикання порядку будь-якої послідовно застосованої пари розрізів призводить до вирішення тих же трьох підпрограм.

Завжди корисно спочатку знайти рекурсивний алгоритм, а потім перетворити його на таблицю.

1. $f(C,n)$
2. $~~$якщо (C = ) повернути 0;$\emptyset$
3. $~~$ще
4. $~~~~$opt = нескінченність;
5. $~~~~$для кожного зробіть$c\in C$
6. $~~~~~~D=\{d\in C:d<c\}$
7. $~~~~~~E=\{e-c:e\in D,e>c\}$
8. $~~~~~~opt = min\{opt,f(D,c)+f(E,n-c)\}$
9. $~~~~$повернення ;$opt+n$

Тож ви можете запитати: чи не надто багато підмножин C можна помістити в таблицю? Зауважте, що потрібні лише "послідовні" підмножини. І є лише з них (чому) Ще одна проблема:.? Деякі записи зміниться значення вE. Ми можемо обійти це, вказавши початок і кінець у кожномуf,а не просто вказавши довжину.$n \choose 2$$E$$f$

Це дуже схоже на Quicksort на мультисеті; оптимально, коли точка зрізу знаходиться найближче до середини, і тоді ми повторюємось.

$s_k$