Як довести, що мова без контексту?

Існує багато методик довести, що мова не є контекстною, але як я можу довести, що мова є безконтекстною?

Які методи є для того, щоб довести це? Очевидно, один із способів - виявити без контексту граматику для мови. Чи існують якісь систематичні прийоми для пошуку безтекстової граматики для даної мови?

Для регулярних мов, є є систематичні способи , щоб отримати регулярну граматику / кінцево-автомат: наприклад, Myhill-Nerode теорема дає один з способів. Чи є відповідна техніка для без контекстних мов?

Моя мотивація полягає в тому, щоб (сподіваюсь) створити референтне питання, що містить перелік методів, які часто корисні, намагаючись довести, що дана мова є без контексту. Оскільки у нас є багато питань, які є окремими випадками цього, було б добре, якби ми могли задокументувати загальний підхід або загальні методи, якими можна скористатись, коли стикаємося з подібною проблемою.

Практичний підхід, який у багатьох прикладах працює [але не завжди, я знаю] намагається знайти це в мові структуру гніздування струн. "Вкладені залежності" повинні створюватися одночасно в різних частинах рядка.

Також у нас є базовий інструментарій :

1. конкатенація: $S\to S_1S_2$ якщо ви можете розділити мову на дві послідовні частини, використовуйте це виробництво

2. союз: $S\to S_1 \mid S_2$ розділиться на роз'єднані частини

3. ітерація: $S\to S_1S \mid \varepsilon$

Приклад 1

Ось приклад для гніздування (дякую Рафаелю).

$L=\{b^ka^l(bc)^ma^nb^o \mid k,l,m,n,o\in {\Bbb N},k\neq o,2l=n,m\ge 2 \}$

Замініть на 2 л . Тепер ми можемо скинути $n$$2l$$n$ в умовах.

Замініть на k > o  або  k < o (плутати? O - це "о", а не "нуль"). Застосовуйте інструменти для об'єднання. Ми працюємо з k > o тут. Також k > o iff k = s + o і s > 0, де s - нова змінна. Замініть k на s + o .$k \neq o$$k > o \text{ or } k < o$$o$$k > o$$k>o$$k=s+o$$s>0$$s$$k$$s+o$

$L_1 =\{b^{s+o}a^l(bc)^ma^{2l}b^o \mid l,m,o,s\in {\Bbb N},s>0,m\ge 2 \}$

Деякі прості переписування.

$L_1 =\{bb^sb^o a^l bcbc(bc)^m (aa)^{l}b^o \mid l,m,o,s\in {\Bbb N} \}$

Тепер ми бачимо структуру гніздування і починаємо будувати граматику.

, T → b U , U → b U ∣ ε (див. Тут: конкатенація та ітерація)$S_1 \to TV$$T\to bU$$U\to bU \mid \varepsilon$

(генеруємо o b з обох сторін)$V \to bVb \mid W$$o$ $b$

$W \to aWaa\mid X$

, Y → b c b c , Z → b c Z ∣ $X\to YZ$$Y\to bcbc$$Z\to bcZ\mid \varepsilon$

Приклад 2

$K =\{ a^kb^lc^m \mid l=m+k\}$

Перший "очевидний" перепис.

$K =\{ a^kb^{m+k}c^m \mid m,k\ge 0\} = \{ a^kb^mb^kc^m \mid m,k\ge 0\}$

У лінгвістиці це називається " міжсеріальна залежність": переплетення (як правило) сильно вказує на безконфліктність. Звичайно, m + k = k + m і ми врятовані.$k,m,k,m$$m+k=k+m$

$K =\{ a^kb^{k+m}c^m \mid m,k\ge 0\} = \{ a^kb^kb^mc^m \mid m,k\ge 0\}$

з виробництвами , X → a X b ∣ ε , Y → b Y c ∣ $S\to XY$$X\to aXb\mid \varepsilon$$Y\to bYc\mid \varepsilon$

Аналогічно $K'= \{ a^kb^lc^m \mid m=k+l\} = \{ a^kb^lc^lc^k \mid k,l\ge 0\}$

з виробництвами , X → b X c ∣ $S\to aSc \mid X$$X\to bXc\mid \varepsilon$

Остаточний коментар: ці методи допоможуть вам розібратися з кандидатською граматикою без контексту, яка, сподіваємось, розпізнає вашу мову. Доказ коректності все ж може знадобитися для того, щоб граматика справді працювала на розпізнавання вашої мови (нічого більше, і не менше).

Існує одна характеристика CFL, яка може бути корисною, теорема Хомського-Шютценбергера .

Дік мова

Нехай алфавіт. Визначимо Дейка -Language D T ⊆ ( T ∪ T ) * з T з допомогою контекстно-вільна граматика G = ( { S } , Т ∪ T , б , S ) з б заданої$T$$D_T \subseteq (T \cup \hat{T})^*$$T$$G = (\{S\}, T \cup \hat{T}, \delta, S)$$\delta$

.$\qquad\displaystyle S \to aS\hat{a}S \mid \varepsilon, \quad a \in T$

Теорема Хомського-Шютценбергера

без контексту, якщо і лише якщо вони є$L \subseteq \Sigma^*$

• $T$
• звичайна мова $R \subseteq (T \cup \hat{T})^*$
• $\psi : (T \cup \hat{T}) \to \Sigma^*$

так що

$\qquad \displaystyle L = \psi(D_T \cap R)$

Зауважте, що гомоморфізм поширюється на слова (символ за символом), а потім на мови (слово за словом).

Приклад

$L = \{ a^n b^n c^m \mid n,m \in \mathbb{N}$

• $T = \{ [, \langle\}$ (and, canonically, $\hat{T} = \{ ], \rangle\}$),
• $R = \mathcal{L}([^* ]^*\langle^* \rangle^*)$ and
• $\psi(x) = \begin{cases} a, &x = [ \\ b, &x =\ ] \\ \varepsilon, &x = \langle \\ c, &x =\ \rangle \end{cases}$

the theorem implies that $L$ is context-free, in particular since

$\qquad\displaystyle D_T \cap R = \{[^n ]^n \langle^m \rangle^m \mid n,m \in \mathbb{N}\}$.

Example 2

Show that $L = \{ b^k a^l (bc)^m a^n b^o \mid k,l,m,n,o \in \mathbb{N}, k \neq o, 2l = n, m \geq 2 \}$ is context-free.

Here, we need one type of parentheses for $a$, one for $bc$, one for $b$, and another used to model the $b$ that cause $k \neq o$. We use

• $T = \{ [, \langle, \vdash, < \}$,
• $R = \mathcal{L}(<^+>^+\vdash^* [^* \langle\langle^+ \rangle^+\rangle ]^* \dashv^*) \cup \mathcal{L}(\vdash^* [^* \langle\langle^+ \rangle^+\rangle ]^* \dashv^*<^+>^+)$ and
• $\psi(x) = \begin{cases} b, &x \in \{\vdash, \dashv, <\} \\ a, &x = [ \\ aa, &x =\ ] \\ bc, &x = \langle \\ \varepsilon, &\text{else} \end{cases}$

and apply the theorem. In order to see that $L = \psi(D_T \cap R)$, we don't need more than the fact that matching symbols (e.g. $[$ and $]$) have to occur equally often in any $w \in D_T$. Adding this contraint to the regular expressions we defined $R$ by, we get

$\qquad \begin{align*} D_T \cap R = &\{<^p>^p \vdash^o [^l \langle^m \rangle^m ]^l \dashv^o \mid p \geq 1, o \geq 0, l \geq 0, m \geq 2\} \\ &\cup\ \{\dots\} \end{align*}$

and therewith

$\qquad\begin{align*} \psi(D_T \cap R) &= \{ b^{p+o} a^l (bc)^m a^{2l} b^o \mid p \geq 1, o \geq 0, l \geq 0, m \geq 2 \} \\ &\quad \cup\ \{ \dots \} \\ &= \{ b^k a^l (bc)^m a^n b^o \mid k,l,m,n,o \in \mathbb{N}, k > o, 2l = n, m \geq 2 \} \\&\quad \cup\ \{ \dots \} \\ &= L \;. \end{align*}$

To grammars and automata

If we want to have an automaton or grammar in the end, we have some more work ahead of us.

• Towards an automaton, construct the NPDA for $D_T$ and an NFA for $R$. The former is standard and we have algorithms for the latter, provided the language is given in a suitable representation (see also here). Intersection both is another standard construction and $\psi$ can be applied to every transition individually.

• Towards a grammar, build one for $R$ (again, should be standard), take the one for $D_T$ and intersect them. Then apply $\psi$ to the rule set (symbol for symbol).

Arguably, this is easy since algorithmic; the complexity lies in finding suitable $T$, $R$ and $\psi$. I don't know if this approach is (often) simpler than constructing PDA/grammars directly but it may allow to focus on the important features of the language at hand. Try for yourself!