Якщо без контексту і є регулярним, то є без контексту?

Я застряг у вирішенні наступної вправи:

Аргументуйте, що якщо без контексту і є регулярним, то (тобто правильний коефіцієнт ) без контексту.$L$$R$$L / R = \{ w \mid \exists x \in R \;\text{s.t}\; wx \in L\}$

Я знаю , що повинен існувати КПК , який приймає і DFA , який приймає . Зараз я намагаюся поєднати ці автомати з КПК, який приймає потрібний коефіцієнт. Якщо я можу побудувати, я довів, що є без контексту. Але я застряг у створенні цього КПК.$L$$R$$L/R$

Ось як далеко я встиг:

У комбінованому КПК штати є декартовим продуктом станів окремих автоматів. А краї - це краї DFA, але лише ті, для яких у майбутньому можна досягти остаточного стану початкового PDA L. Але не знаю, як записати це формально.

Ось підказка.

Потрібно, щоб ваша машина спочатку прийняла частину слова від , споживаючи стрічку, як йде. Тоді, нічого не вживаючи, потрібно знайти слово яке підштовхне машину до остаточного стану. Вибране слово з грає роль вхідного слова для другої половини обчислення.$L$$R$$R$

Зрозуміло, недетермінізм матиме свою роль, як і продукт між двома машинами. Хитрість у формалізації цього полягає в налаштуванні продукту на вирішення того факту, що вхід надходить від не від введення.$R$

Я не впевнений, що ви досягаєте з декартовим продуктом; це імітує обидва автомати паралельно, що дасть вам перехрестя. Але ви хочете, щоб він ідентифікував усі слова в які мають суфікс від ! На інтуїтивному рівні, тобто.$L$$R$

Припустимо, наше введення є . Очевидно, ми не можемо перевірити всі можливі продовження (для членства в ), а лише обмежену їх кількість. Тут найкраще допомагає коментар Артема ; ми здогадуємось, яким буде суфікс , і запускаємо на ньому обидва автомати.$w \in \Sigma^*$$R$$x$

Нехай і - КПК для і NFA для відповідно. Побудуйте автомат наступним чином. На вході , . Після споживається, перехід до модифікованого перетину з і , зберігаючи стан від . Тепер вирішіть для кожного переходу недетерміновано, який символ буде наступним у віртуальному вході. Прийміть якщо і тільки тоді, коли обидва компоненти досягають остаточного стану одночасно, тобто якщо$A_L$$A_R$$L$$R$$A$$w \in \Sigma^*$$A_L$$w$$A_{L,R}$$A_L$$A_R$$A_L$$w$$A_{L,R}$$w$має продовження , так що і .$x$$wx \in L$$x \in R$

Також можна використовувати формальні граматики. Ви бачите, як можна паралельно вивести дві граматики? Загалом, незрозуміло, як адаптувати щоб ви отримали ручку на суфікси; використання нормальної форми Хомського допомагає.$G_L$

Припустимо, що і і задані у звичайному вигляді Хомського. Змініть таким чином, щоб найбільш правий нетермінал відрізнявся, і зробіть його початковий символ новим початковим символом. Введіть для відмінних версій нетерміналів нові правила, які ведуть до граматики, яка паралельно походить у та (нетермінали - це пари нетерміналів); якщо обидві граматики погоджуються на символ терміналу, видаліть складений нетермінал. Таким чином, суфікс в , видаляється , якщо і тільки якщо воно може бути отримано в , і в , залишається .$G_L$$G_R$$G_L$$G_L$$G_R$$G_L$$G_L$$G_R$$w \in L/R$

Я рекомендую використовувати відповідь Рафаеля, що набагато простіше зрозуміти, але ось альтернативний варіант, використовуючи властивості закриття замість автомати:

Нехай є мовою. Ми хочемо прочитати слово , але запитаємо чи є у мові. Отже, ми хочемо створити нову мову з яка "стерла". Ми можемо це зробити за допомогою гомоморфізму, але це може видалити літери . Рішення: розділіть алфавіт на дві частини та використовуйте різні літери для та .$L \subseteq A^{\ast}$$w$$L$$w x$$L$$x$$w$$w$$x$

Більш офіційно:

1) Створіть слів із , з кожною буквою з позначкою 0 або 1. 2) Перетинайте її звичайною мовою . Це сила , які все-прийти до всіх 1 - х, а друга частина надходить від . Точне значення залишається читачеві. 3) Замініть і . Використовувані властивості закриття: Гомоморфне зображення, зображення, перетин з регулярними мовами. Перевага: Цей доказ працює для інших сімей (наприклад, замініть без контексту на звичайний).$L' \subseteq (A \times \{0,1\})^{\ast}$$L$
$(A \times {0})^{\ast} (R \times 1)$$R$$\times$
$(a,0) \to a$$(a,1) \to \varepsilon$