Побудова нееквівалентних двійкових матриць

Я намагаюся побудувати всі нееквівалентні матриць (або якщо хочете) з елементами 0 або 1. Операція, яка дає еквівалентні матриці, - це одночасний обмін рядком i та j та стовпцем i та j . напр. для $8\times 8$ $n\times n$ $1\leftrightarrow2$

(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}) \sim (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array})

$\begin{equation} \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right) \end{equation}$

Зрештою, мені також потрібно буде порахувати, скільки еквівалентних матриць є в кожному класі, але я думаю, що теорема підрахунку Полі може це зробити. На даний момент мені просто потрібен алгоритмічний спосіб побудови однієї матриці в кожному класі нерівності. Будь-які ідеї?

algorithms combinatorics

— Гетеротичні
джерело

Є по крайней мере ,

з них. Це дійсно велика кількість.

2^{64} / 8! \geq 2^{48}

$2^{64}/8! \geq 2^{48}$

— Yuval Filmus

@Yuval: Це дійсно велика кількість, і для мого розрахунку це дійсно має значення, якщо це або . Біг може зайняти більше тижнів! Це причина, що я намагаюся використовувати всі симетричні аспекти проблеми. Вбік ця проблема виникла з побудови моделі в String Theory! :)

2^{48}

$2^{48}$

2^{52}

$2^{52}$

— Гетеротика

Що ви маєте намір зробити з усіма цими матрицями? Де ви збираєтесь їх зберігати? Що таке додаток?

— Yuval Filmus

ідея: хіба це не дуже схожа на проблема ізоморфізму графа? де матриці - це крайові матриці графіка? окрім тих, що є симетричними ... можливо, можна якось використати, на цьому є

— тона

math.stackexchange.com/questions/924745/…

— орезвані

Я досяг певного прогресу в напрямку відповіді на це питання. Я розміщую тут на випадок, якщо хтось інший зацікавлений, а також тому, що ця конструкція може мати корисність для (спрямованих) графіків.

Порахуйте кількість 1s у кожному рядку. Нехай буде число рядків з нульовими 1s, число рядків з одним 1 і так далі до , який є кількість рядків , які мають вісім 1s. Очевидно . Запропонували параметризацію , що я прийшов після проб і помилок: , де Т являє собою слід матриці і S є , якщо матриця симетрична і в іншому випадку. T працює від до $a_0$ $a_1$ $a_8$ $\sum a_i=8$

(a_{1}, \dots, a_{8}; T, S)

$(a_1,\cdots, a_8; T, S)$

1

$1$

0

$0$

0

$0$

\sum_{i = 1}^{8} a_{i} = 8 - a_{0}

$\sum_{i=1}^8 a_i=8-a_0$

З моїх випробувань та помилок виглядає так, що якщо дві матриці відрізняються в цій параметризації, то вони належать до різних класів еквівалентності, тому для побудови представника в кожному класі ми просто скануємо простір параметрів, як описано вище.

(Оновлення) Виявляється, ця параметризація працює нормально для n = 2, але не для n = 3, як це можна побачити підрахунком грубої сили. Я все ще думаю, що це дає деяке розуміння структури відповіді, і я закликаю людей спробувати змінити / розширити її, щоб охопити найбільш загальний випадок.

— Гетеротичні
джерело

1 \times 1

$1 \times 1$

2 \times 2

$2\times 2$

7 \times 7

$7 \times 7$

@DW: Дійсно, це доказ того, що ця умова є достатньою, що турбує мене і того, з ким я хотів би допомогти. Я спробую вичерпно перевірити це для менших випадків і побачити, що станеться. Дякую за пораду! На жаль, я не маю уявлення, як за допомогою SAT вирішувача шукати зустрічні приклади. Якщо гіпотеза стосується менших матриць, я можу почати дізнаватися про неї ...

— Гетеротика

Має сенс, гетеротичний! Насправді я повертаю свою заяву про використання SAT-рішення. Я не знаю, як використовувати SAT-вирішувач для пошуку контрприкладів (це важче, ніж я думав спочатку) - тому, будь ласка, проігноруйте цю частину мого коментаря. Вибач за це!

— DW

a_{i}

$a_i$

(1, 4)

$(1,4)$

(2, 3)

$(2,3)$

(1, 4)

$(1,4)$

(2, 4)

$(2,4)$ (усі залишки 0 для обох) не еквівалентні, але мають однакову параметризацію. (Звичайно, це негайно призводить до вдосконаленої параметризації, яка також враховує стовпці.)

— FrankW

Гетеротичний, тепер, коли ви знаєте, що ваша відповідь не працює, я б запропонував видалити свою відповідь, щоб вона не плутала інших ...

— DW