Основна теорема не застосовується?

Дано наступне рекурсивне рівняння

Т (н) = 2 Т (\frac{н}{2}) + н журнал н

$T(n) = 2T\left(\frac{n}{2}\right)+n\log n$ ми хочемо застосувати головну теорему і зауважимо, що

н^{{журнал}_{2} (2)} = н .

$n^{\log_2(2)} = n.$

Тепер ми перевіряємо перші два випадки на , тобто чи $\varepsilon > 0$

$n\log n \in O(n^{1-\varepsilon})$ або
$n\log n \in \Theta(n)$ .

Дві справи не задоволено. Тож ми маємо перевірити третій випадок, тобто чи

$n\log n \in \Omega(n^{1+\varepsilon})$ .

Я думаю, що третю умову теж не виконують. Але чому? І що було б хорошим поясненням того, чому магістерську теорему в цьому випадку не можна застосувати?

— Йоахім
джерело

Дивіться у вікі тип 2 загальної форми .

Випадок три не задовольняється, оскільки не є для будь-якого . Використовуйте правило l'Hôpital щодо межі

\log n

$\log n$

Ω (n^{ϵ})

$\Omega(n^\epsilon)$

ϵ > 0

$\epsilon > 0$

\frac{\log n}{n^{ϵ}}

$\frac{\log n}{n^{\epsilon}}$

— sdcvvc

Як тільки ви покажете, що не застосовується жоден випадок, це є доказом того, що ви не можете застосувати головну теорему, як сказано.

— Рафаель

Кому потрібна теорема магістра? Використовуйте дерева рекурсії.

— JeffE

Аналогічне запитання на математиці.SE .

— Рафаель

Відповіді:

Три випадки теоретики майстра, на які ви посилаєтесь, підтверджені у Вступі до алгоритмів Томасом Х. Корменом, Чарльзом Е. Лейерсоном, Рональдом Л. Рівестом та Кліффордом Штейн (2-е видання, 2001 р.).

Правильно помічено, що питання, про який йде мова, падає між випадком 2 та випадком 3. Тобто $f(n) = n \log n$ росте швидше $n$ але повільніше, ніж $n^{1+\varepsilon}$ для будь-якого $\varepsilon > 0$ .

Однак теорему можна узагальнити, щоб охопити цю повторюваність. Розглянемо

Випадок 2A: Розглянемо $f(n) = \Theta (n^{\log_b a }\log_b^k n)$ для деякого $k\geq 0$ .

Цей випадок зводиться до випадку 2, коли $k = 0$ . Інтуїтивно зрозуміло, що уздовж кожної гілки дерева повторень $f(x)$ додається $\Theta (\log_b n)$ разів. Ескіз більш формального доказу можна знайти нижче. Кінцевий результат такий

Т (н) = Θ (н^{{журнал}_{б} а} {журнал}_{б}^{к + 1} н)

$T(n) = \Theta (n^{\log_b a }\log_b^{k+1} n)$ .

У Вступі до алгоритмів це твердження залишається як вправа.

Застосовуючи це твердження до рецидиву, про який йдеться, ми нарешті отримуємо

Т (н) = Θ (н \cdot {журнал}^{2} н) .

$T(n) = \Theta(n \cdot \log^2 n).$

Більш детально про Теорему магістра можна знайти на чудовій сторінці (імхо) Вікіпедії .

Як @sdcvvc в коментарях вказує, що Справа 3 не застосовується тут, можна посилатися на правило L'Hospital, яке говорить про те, що

lim_{х \to c} \frac{f (х)}{г (х)} = lim_{х \to c} \frac{f^{'} (х)}{г^{'} (х)}

$\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$

для будь-яких функцій і диференційованих в районі . Застосовуючи це до та можна показати, що $f(x)$ $g(x)$ $c$ $f(n) = n \log n$ $g(n) = n^{1+\varepsilon}$ $\log n \not\in \Theta (n^{1+\varepsilon}).$

Ескіз доведення основної теореми для випадку 2A.

Це відтворення частин доказу з Введення в алгоритми з необхідними модифікаціями .

Спочатку ми доводимо наступну лему.

Лема А:

Розглянемо функцію

г (н) = \sum_{j = 0}^{{журнал}_{б} н - 1} а^{j} год (н / б^{j})

$g(n) = \displaystyle \sum_{j=0}^{\log_b {n-1}} a^j h(n/b^j)$

деТоді $h(n) = n^{\log_b a} \log_b^k n.$ $g(n) = n^{\log_b a} \log_b^{k +1} n.$

Доведення: Замінивши у вираз можна отримати $h(n)$ $g(n)$

г (н) = н^{{журнал}_{б} а} {журнал}_{б}^{к} н \sum_{j = 0}^{{журнал}_{б} н - 1} {(\frac{а}{б^{{журнал}_{б} а}})}^{j} = н^{{журнал}_{б} а} {журнал}_{б}^{к + 1} н .

$g(n) = \displaystyle n^{\log_b a} \log_b^k n \; \sum_{j=0}^{\log_b{n-1}} \left(\frac{a}{b^{\log_b a}}\right)^j = n^{\log_b a} \log_b^{k +1} n.$

QED

Якщо - точна сила задана рецидивом $n$ $b$

Т (н) = а Т (н / б) + f (н), Т (1) = Θ (1)

$T(n) = a T(n/b) + f(n),\quad T(1) = \Theta(1)$

можна переписати його як

Т (н) = Θ (н^{{журнал}_{б} а}) + \sum_{j = 0}^{{журнал}_{б} н - 1} а^{j} f (н / б^{j}) .

$T(n) = \Theta(n^{\log_b a}) + \displaystyle \sum_{j=0}^{\log_b n - 1} a^j f(n/b^j).$

Підставивши на , перемістивши назовні та застосувавши лему A, отримаємо $f(n)$ $\Theta(n^{\log_b a} \log_b^k n)$ $\Theta$

T (n) = Θ (n^{\log_{b} a} \log_{b}^{k + 1} n) .

$T(n) = \Theta (n^{\log_b a }\log_b^{k+1} n).$

Узагальнення цього довільного цілого числа яке не є силою , виходить за межі цього поста. $n$ $b$

— Дмитро Чубаров
джерело

Теорема Акра-Бацці - це суворе узагальнення основної теореми. Як бонус його доказом є хуртовина інтегралів, яка змусить вашу голову крутитися ;-)

У будь-якому випадку Седжевік у своєму «Вступі до аналізу алгоритмів» переконливо стверджує, що слід прагнути довести асимптотику типу . $T(n) \sim g(n)$

— фонбранд
джерело